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Mathematik-Online-Lexikon: Erläuterung zu

Integralformel für Ableitungen einer komplexen Funktion

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Eine in einem Gebiet $ D$ analytische Funktion $ f$ ist unendlich oft komplex differenzierbar, und es gilt

$\displaystyle f^{(n)}(z) = \frac{n!}{2\pi\mathrm{i}}\int\limits_C \frac{f(w)}{(w-z)^{n+1}}\,dw $

für jeden geschlossenen, zu einem Punkt homotopen Weg $ C$ in $ D$ mit $ z\notin C$ und $ n(C,z)=1$.
Die Cauchysche Integralformel

$\displaystyle n(C,z)f(z)=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\int\limits_C \frac{f(w)}{w-z}\,dw $

kann wegen $ z\notin C$ unter dem Integralzeichen differenziert werden. Das beweist sowohl die behauptete Glattheit von $ f$ als auch die Formel für $ f^{(n)}$.
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  automatisch erstellt am 21. 11. 2013