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Mathematik-Online-Lexikon: Erläuterung zu

Mittelwerteigenschaft für komplexe Funktionen

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Für eine auf einer Kreisscheibe um $ z$ mit Radius $ >r$ analytische Funktion ist

$\displaystyle f(z) = \frac{1}{2\pi}\int\limits_0^{2\pi} f(z+re^{\mathrm{i}t})\,dt \,. $

Diese Identität gilt auch separat für Real- und Imaginärteil von $ f$, insbesondere also auch für harmonische Funktionen.

Verwendet man in der Cauchyschen Integralformel

$\displaystyle n(C,z)f(z)=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\int\limits_C \frac{f(w)}{w-z}\,dw $

für $ C$ einen Kreis um $ z$ mit der Parametrisierung

$\displaystyle C:\quad w(t)=z+re^{\mathrm{i}t},\quad 0\le t\le 2\pi, $

so erhält man direkt

$\displaystyle f(z)=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}} \int\limits_0^{2\pi}\frac{f(z+re^{\mathrm{i}t})}{re^{\mathrm{i}t}} \mathrm{i}re^{\mathrm{i}t}\,dt\,. $

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  automatisch erstellt am 21. 11. 2013