Mo Logo [Home] [Lexikon] [Aufgaben] [Tests] [Kurse] [Begleitmaterial] [Hinweise] [Mitwirkende] [Publikationen]

Mathematik-Online-Lexikon: Erläuterung zu

Mittelwerteigenschaft für komplexe Funktionen


A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z Übersicht

Für eine auf einer Kreisscheibe um $ z$ mit Radius $ >r$ analytische Funktion ist

$\displaystyle f(z) = \frac{1}{2\pi}\int\limits_0^{2\pi}
f(z+re^{\mathrm{i}t})\,dt
\,.
$

Diese Identität gilt auch separat für Real- und Imaginärteil von $ f$, insbesondere also auch für harmonische Funktionen.


Verwendet man in der Cauchyschen Integralformel

$\displaystyle n(C,z)f(z)=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\int\limits_C
\frac{f(w)}{w-z}\,dw
$

für $ C$ einen Kreis um $ z$ mit der Parametrisierung

$\displaystyle C:\quad w(t)=z+re^{\mathrm{i}t},\quad 0\le t\le 2\pi,
$

so erhält man direkt

$\displaystyle f(z)=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}
\int\limits_0^{2\pi}\frac{f(z+re^{\mathrm{i}t})}{re^{\mathrm{i}t}}
\mathrm{i}re^{\mathrm{i}t}\,dt\,.
$


[Zurück]

  automatisch erstellt am 21. 11. 2013