Mathematik-Online-Lexikon: Erläuterung zu Hyperbelfunktionen

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	Mathematik-Online-Lexikon: Erläuterung zu
	Hyperbelfunktionen

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Übersicht

Analog zu den trigonometrischen Funktionen definiert man

$\displaystyle \cosh x = \frac{e^x+e^{-x}}{2},\quad \sinh x= \frac{e^x-e^{-x}}{2}$

sowie

$\displaystyle \tanh x=\frac{\sinh x}{\cosh x} = 1/$ coth $\displaystyle \, x\, .$

$\includegraphics[height=4.5cm]{a_hyperbelfunktionen_bild1_1.eps}$		$\includegraphics[height=4.5cm]{a_hyperbelfunktionen_bild2_1.eps}$
$\sinh x$ , $\cosh x$		$\tanh x$ , $\coth x$

Die Umkehrfunktionen lassen sich explizit angeben:

$\begin{displaymath} \begin{array}{ccl} \mbox{arsinh} x = \ln (x+ \sqrt{x^2+1}),&... ... x = \ln (x+ \sqrt{x^2-1}),&\quad& 1\leq x<\infty. \end{array}\end{displaymath}$

Die Bezeichnung Hyperbelfunktion bezieht sich auf die Identität

$\displaystyle \cosh^2 x- \sinh^2 x=1$

Diese impliziert, dass durch $t\mapsto (\cosh t, \sinh t)$ ein Zweig einer Hyperbel parametrisiert wird.

$\includegraphics[height=6cm]{bsp_hyperbel_bild1}$

$\includegraphics[height=6cm]{bsp_hyperbel_bild2}$

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automatisch erstellt am 19. 8. 2013