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Mathematik-Online-Lexikon: Erläuterung zu

Satz von Liouville

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Eine analytische Funktion $ f$, die auf ganz $ \mathbb{C}$ beschränkt ist, d.h.

$\displaystyle \sup\limits_{z\in\mathbb{C}} \vert f(z)\vert=c<\infty, $

ist konstant.
Aus der Abschätzung für komplexe Ableitungen folgt

$\displaystyle \vert f'(z)\vert \le \frac{1}{r} \max_{\vert w-z\vert=r} \vert f(w)\vert \le \frac{1}{r} c $

für einen Kreis um $ z$ mit Radius $ r$. Die Grenzwertbildung $ r\to\infty$ liefert damit

$\displaystyle f'(z)=0 $

für alle $ z\in\mathbb{C}$, d.h. $ f$ ist konstant.
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  automatisch erstellt am 21. 11. 2013