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Mathematik-Online-Lexikon: Erläuterung zu

Berechnung von Residuen

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Hat $ f$ eine einfache Polstelle bei $ a$, so ist

$\displaystyle \underset{a}{\operatorname{Res}}f = \lim_{z\to a} (z-a) f(z) \,. $

Für eine Polstelle $ n$-ter Ordnung gilt

$\displaystyle \underset{a}{\operatorname{Res}}f = \lim_{z\to a} \frac{1}{(n-1)!} \left[\left(\frac{d}{dz}\right)^{n-1} ((z-a)^n f(z))\right] \,. $

Bei einer einfachen Polstelle lässt sich $ f$ in der Form

$\displaystyle f(z)$ $\displaystyle =\frac{c_{-1}}{z-a}+g(z)$    

schreiben, wobei $ g$ in einer Umgebung von $ a$ analytisch ist. Somit gilt


$\displaystyle \lim_{z\to a} (z-a) f(z)$ $\displaystyle = \lim_{z\to a}\left(c_{-1}+(z-a)g(z)\right) =c_{-1}\,.$    

Für eine Polstelle $ n$-ter Ordnung gilt analog

$\displaystyle f(z)$ $\displaystyle =\frac{c_{-n}}{(z-a)^n}+\cdots+\frac{c_{-1}}{z-a}+g(z)\,,$    

wobei $ g$ in einer Umgebung von $ a$ analytisch ist. Somit gilt


$\displaystyle \left(\frac{d}{dz}\right)^{n-1} ((z-a)^n f(z))$ $\displaystyle = \left(\frac{d}{dz}\right)^{n-1} \left(c_{-n}+\cdots +c_{-1}(z-a)^{n-1} +(z-a)^ng(z)\right)$    
  $\displaystyle \to(n-1)!\,c_{-1}$    

für $ z\to a$.

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  automatisch erstellt am 21. 11. 2013