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Mathematik-Online-Lexikon: Erläuterung zu

Komplexes Kurvenintegral

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Für einen stetig differenzierbaren Weg

$\displaystyle C:\ t\mapsto z(t),\quad t\in [a,b] \,, $

in der komplexen Ebene bezeichnet man

$\displaystyle \int\limits_C f\,dz = \int\limits_a^b f(z(t))z'(t)\,dt \, $

als komplexes Kurvenintegral. Die Definition ist bei gleichbleibender Orientierung unabhängig von der gewählten Parametrisierung des Weges $ C$. Bei Umkehrung der Durchlaufrichtung ändert sich das Vorzeichen des Integrals.

Wird die Kurve $ z(t)\,,\, t\in[a,b]$, durch eine stetig differenzierbare Abbildung $ t\mapsto s$ mit $ ds/dt >0$ umparametrisiert in $ \tilde{z}(s)\,,\,s\in[c,d]\,,$ so gilt für das Kurvenintegral über $ f$
$\displaystyle \int\limits_C f(z)\,dz$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \int\limits_a^b f(z(t))z'(t)\,dt = \int\limits_a^b f(\tilde{z}(s(t)))\frac{d}{dt}\tilde{z}(s(t))\,dt$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \int\limits_a^b f(\tilde{z}(s(t)))\tilde{z}'(s(t))s'(t)\,dt = \int\limits_c^d f(\tilde{z}(s))\tilde{z}'(s))\,ds$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \int\limits_C f(\tilde{z})\,d\tilde{z}\,.$  

Das Integral verändert sich also unter orientierungserhaltenden Umparametrisierungen nicht.
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  automatisch erstellt am 21. 11. 2013