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Mathematik-Online-Lexikon: Erläuterung zu

Komplexe Stammfunktion

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Ist $ f$ in einem Gebiet $ D$ komplex differenzierbar, so gilt für einen in $ D$ verlaufenden Weg $ C$ von $ z_0$ nach $ z_1$

$\displaystyle \int\limits_C f' \,dz = f(z_1)-f(z_0) \,. $

Insbesondere ist also das komplexe Kurvenintegral für Funktionen mit komplexer Stammfunktion wegunabhängig und verschwindet für einen geschlossenen Weg.
Ist $ z_0=z(a)$ und $ z_1=z(b)$, so gilt für das Kurvenintegral

$\displaystyle \int\limits_C f'\,dz = \int\limits_a^b f'(z(t))z'(t)\,dt = \int\limits_a^b \frac{d}{dt}\left(f(z(t))\right)\,dt = f(z_1)-f(z_0)\,. $

Die letzte Gleichheit folgt aus dem Hauptsatz der Integral- und Differentialrechnung für reelle Funktionen nach Aufspaltung von $ f$ in Real- und Imaginärteil.
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  automatisch erstellt am 21. 11. 2013