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Mathematik-Online-Lexikon: Erläuterung zu

Charakteristisches System einer partiellen Differentialgleichung

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Es wäre offensichtlich wünschenswert, wenn die $ x_i'$ mit den Koeffizienten der Ausgangsgleichung (*) übereinstimmen würden. Dies führt unmittelbar auf das autonome (hierzu geht ein, daß die PDG linear war) DGL - System

$\displaystyle (***) \ \ \ \ \begin{array}{ccc} x_1'(t) & = & a_1(x_1, \ldots , x_n) \\ : & & : \\ x_n'(t) & = & a_n(x_1, \ldots , x_n) \end{array} \ .$

Dieses System nennt man das charakteristische System der PDG und dessen Lösungen heißen Charakteristiken oder auch charakteristische Kurven der PDG.

Für sie gilt folgendes Lemma, das letztlich die Bedeutung der autonomen Systemen des vorhergehenden Abschnitts für partielle Differentialgleichungen darlegt und auch obige Überlegungen im Fall $ n = 2$ für die Ausgangsgleichung abschließt.

Lemma: Gegeben sei die lineare PDG 1.Ordnung

$\displaystyle (*) \ a_1(x_1, \ldots , x_n) y_{x_1} + \ldots + a_n(x_1, \ldots, x_n)y_{x_n} + a(x_1, \ldots, x_n)y + b(x_1, \ldots ,x_n) = 0 .$

Dann gilt:

$ y$ ist Lösung der zu gehörigen reduzierten Gleichung

$\displaystyle (**) \ a_1(x_1, \ldots , x_n) y_{x_1} + \ldots + a_n(x_1, \ldots, x_n)y_{x_n} = 0 .$

genau dann, wenn $ y$ ein erstes Integral des charakteristischen Systems der PDG ist.
Beweis: Sind $ x_1(t), \ldots , x_n(t)$ Lösungen des charakteristischen Systems, dann gilt mit der Kettenregel

$\displaystyle \frac{d}{dt} y(x_1(t), \ldots, x_n(t)) = \sum_{i=1}^n y_{x_i} x_i' \ = y_{x_1} a_1 + \ldots + y_{x_n} a_n .$

Ist $ y$ Lösung der reduzierten Gleichung, dann ist $ y_{x_1} a_1 + \ldots + y_{x_n} a_n = 0 .$ Daher folgt, daß $ y(x_1(t), \ldots ,x_n(t)) $ eine Konstante ist und somit ein erstes Integral des charakteristischen Systems.

Ist umgekehrt $ y$ ein erstes Integral, dann gilt für jede Charakteristik

$\displaystyle \frac{d}{dt} y(x_1(t), \ldots , x_n(t)) = 0 = \sum_{i=1}^n y_{x_i}a_i .$

Zu jedem $ x$ aus dem Definitionsbereich von $ y$ gibt es nach dem Existenz- und Eindeutigkeitssatzeine Lösung des autonomen Systems die zur Zeit $ t_0$ durch $ x = (x_1, \ldots x_n) $ geht. Daher ist

$\displaystyle \sum y_{x_i}(x_1, \ldots ,x_n) a_i(x_1, \ldots , x_n) = 0 .$

und $ y$ ist eine Lösung des reduzierten Systems.                 $ \Box$

(Aus: Vorlesungsskript HM3)
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  automatisch erstellt am 25.  1. 2006