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Mathematik-Online-Lexikon: Erläuterung zu

Lineare partielle Differentialgleichungen zweiter Ordnung

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Eine lineare partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung für eine zweimal stetig differenzierbare Funktion $ u: D \longrightarrow \mathbb{R} $ mit $ D \subseteq \mathbb{R}^2$ hat die Gestalt

$\displaystyle a(x,y)u_{xx} + 2b(x,y)u_{xy} + c(x,y)u_{yy} + d(x,y)u_x + e(x,y)u_y + f(x,y)u = r(x,y) .$

Man beachte, daß $ u_{xy} = u_{yx}$, da $ u$ von Klasse $ C^2$ ist. Die Diskriminante einer solchen PDG ist definiert als

$\displaystyle \Delta = a(x,y)c(x,y) - (b(x,y))^2 .$

Die partielle Differentialgleichung heißt

$\displaystyle \begin{array}{ccc} \text{hyperbolisch} & \text{falls} \ \ \Delta ... ...\ \Delta = 0 \\ \text{elliptisch} & \text{falls} \ \ \Delta > 0 \end{array} $

a)
Die Wellengleichung

$\displaystyle u_{xx} = c^2 u_{yy}$

besitzt die Diskriminante

$\displaystyle \Delta = - c^2 < 0 ,$

ist also hyperbolisch.
b)
Die Gleichung $ u_{xx} + u_{yy} = 0$ ist elliptisch ( $ \Delta = 1 ).$ Man nennt sie die Potentialgleichung. Ein ebenes elektrostatisches Potential erfüllt diese Gleichung.
c)
Die Funktion $ u(x,t)$ beschreibe im Punkt $ (x,0)$ der $ x$ - Achse die Temperatur zur Zeit $ t .$ Sie erfüllt die PDG

$\displaystyle a^2 u_{xx} - u_t = 0 .$

Man nennt sie Diffusionsgleichung. Diese Gleichung ist Beispiel einer parabolischen PDG ( $ \Delta = 0 $ ). In der Form

$\displaystyle a^2 u_{xx} - u_t - r(x,t) = 0 $

nennt man sie Wärmeleitungsgleichung. Die $ x$ - Achse wird hierbei als Stab interpretiert und $ u(x,t)$ gibt die Temperaturverteilung im Stab an. Die Störfunktion $ r(x,t)$ beschreibt den Temperatureinfluß von außen.
d)
Bei konstanten Koeffizienten ist die Diskriminante unabhängig von $ x$ und $ y .$ Im Allgemeinen wird dies nicht der Fall sein. Man präzisiert dann die Definition dadurch, daß man sagt, daß die gegebene PDG in $ D \subseteq \mathbb{R}^2$ ($ D = D^o$ wird in der Regel verlangt) hyperbolisch bzw. parabolisch bzw. elliptisch ist, wenn in allen Punkten $ (x,y)$ von $ D$ die Diskriminante $ \Delta(x,y) < 0$    bzw. $ = 0$    bzw. $ > 0 $ ist.
e)
Eine PDG 2. Ordnung, die in $ D$ weder hyperbolisch noch parabolisch noch elliptisch ist, nennt man von gemischtem Typ.
f)
Die Typenbezeichnungen der PDG 2. Ordnung stammen aus der Geometrie. Ein Kegelschnitt mit der Gleichung

$\displaystyle ax^2 + 2bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0 $

hat bezüglich der Koeffizienten die entsprechenden Eigenschaften, wenn er eine Hyperbel, Parabel oder Ellipse ist (die Umkehrung ist allerdings nicht richtig).
(Aus: Vorlesungsskript HM3)
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  automatisch erstellt am 25.  1. 2006