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Mathematik-Online-Lexikon: Erläuterung zu

Natürlicher Spline-Interpolant

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Der natürliche Spline-Interpolant der Daten

$\displaystyle (x_i,f_i), \quad a = x_0 < x_1 < \dots < x_n = b, $

ist ein kubischer Spline $ p$, der an den Stützstellen $ x_i$ zweimal stetig differenzierbar ist und die Randbedingungen

$\displaystyle p^{\prime \prime}(x_0) = p^{\prime \prime}(x_n) = 0 $

erfüllt.

Er minimiert unter allen glatten Interpolanten $ f$ das Integral

$\displaystyle \int_a^b \vert f^{\prime\prime}(x) \vert^2 dx, $

das als Maß für die Stärke der Oszillation angesehen werden kann.

\includegraphics[width=.6\linewidth]{Natur_Spline.eps}
Die Ableitungen $ d_i=p^\prime(x_i)$, die den Spline zusammen mit den Daten $ f_i$ festlegen, berechnen sich aus den Glattheitsbedingungen für $ i = 1,\dots,n-1:$
$\displaystyle p_i^{\prime\prime}(x_i) = p_{i+1}^{\prime\prime}(x_i)$ $\displaystyle \Leftrightarrow$    
$\displaystyle \frac{1}{\Delta_i} d_{i-1} + (\frac{2}{\Delta_i} + \frac{2}{\Delta_{i+1}}) d_i + \frac{1}{\Delta_{i+1}} d_{i+1}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{3}{\Delta_i^2}(f_i - f_{i-1}) + \frac{3}{\Delta_{i+1}^2} (f_{i+1} - f_i),$  

mit $ \Delta_i = x_i - x_{i-1}$ sowie den Randbedingungen $ p^{\prime \prime}(x_0) = p^{\prime \prime}(x_n)=0 $:

$\displaystyle 2d_0 + d_1 = \frac{3}{\Delta_1} (f_1 - f_0),\quad d_{n-1} + 2 d_n = \frac{3}{\Delta_n} (f_n - f_{n-1}). $

Alternativ können auch die Randbedingungen,

$\displaystyle p^\prime(a) = \alpha, \quad p^\prime(b) = \beta\,, $

gestellt werden. Der resultierende eingespannte natürliche Spline hat dann ebenfalls die entsprechende Minimaleigenschaft.
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  automatisch erstellt am 19.  8. 2013