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Mathematik-Online-Lexikon: Erläuterung zu

Beste Approximation von konvexen Mengen in Hilbert-Räumen

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Für eine abgeschlossene konvexe Teilmenge $ K$ eines Hilbert-Raums $ H$ existiert zu jedem $ u\in H$ eine eindeutige beste Approximation $ v\in K$ mit

$\displaystyle \Vert u-v\Vert=\inf_{w\in K} \Vert u-w\Vert\,. $

\includegraphics[width=.5\moimagesize]{a_beste_approx}

Die beste Approximation ist dabei eindeutig durch

$\displaystyle \langle u-v, w-v \rangle \le 0,$   für alle $\displaystyle w\in K $

charakterisiert, d. h. der Winkel zwischen den Vektoren $ u-v$ und $ w-v$ ist stumpf.

Insbesondere existieren eindeutige beste Approximationen von abgeschlossenen linearen Unterräumen $ U$. In diesem Fall ist das obige Skalarprodukt Null, d. h. der Fehler $ u-v$ ist orthogonal zu $ U$.

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  automatisch erstellt am 19.  8. 2013