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Mathematik-Online-Lexikon: Erläuterung zu

Lineare partielle Differentialgleichung erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten

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Für stetig differenzierbare Lösungen $ u(x_1,\ldots,x_n)$ der partiellen Differentialgleichung

$\displaystyle a^{\operatorname t}{\operatorname{grad}\,} u(x)=\alpha u(x)+f(x)\,, $

mit $ a^{\operatorname t}=(a_1,\ldots,a_n)$, $ \alpha\in\mathbb{R}$, gilt

$\displaystyle u(x+ta)=\left(u(x)+\int_0^t\exp(-\alpha s)f(x+sa)\,ds\right) \exp(\alpha t) $

für beliebiges $ t\in\mathbb{R}$. Folglich läßt sich $ u(\xi)$, $ \xi(t)=x+ta$, durch Integration entlang der charakteristischen Geraden $ g$ in Richtung $ a$ eindeutig bestimmen, wenn jeweils ein Wert

$\displaystyle \varphi(x)=u(x)\ ,\quad x\in g, $

vorgegeben ist.

Ist beispielsweise $ a_n\ne0$, so kann man o.B.d.A. $ a_n=1$ annehmen und $ x$ in der Hyperebene $ H:\,x_n=0$ wählen. Dann ist

$\displaystyle t = \xi_n,\quad x = (x_1,\ldots,x_{n-1},0),\quad x_i = \xi_i - \xi_n a_i \,. $

Insbesondere besitzt die homogene partielle Differentialgleichung ($ f=0$) in diesem Fall die allgemeine Lösung

$\displaystyle u(\xi_1,\ldots,\xi_n) = \varphi(\xi_1-\xi_n a_1,\ldots,\xi_{n-1}-\xi_na_{n-1}) \exp(\alpha \xi_n) $

für eine beliebige stetig differenzierbare Funktion $ \varphi$. Ist ebenfalls $ \alpha=0$, so ist die Lösung entlang der charakteristischen Geraden konstant.

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  automatisch erstellt am 19.  8. 2013