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Mathematik-Online-Lexikon: Erläuterung zu

Charakteristiken einer linearen partiellen Differentialgleichung erster Ordnung

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Für die partielle Differentialgleichung

$\displaystyle u_t+a^{\operatorname t}\operatorname{grad}_x\,u=\alpha u+f $

mit stetig differenzierbaren Funktionen $ a_\nu\,,\alpha\,,f$ von $ n+1$ Variablen $ (x_1,\ldots,x_n,t)$ bezeichnet man die durch das System gewöhnlicher Differentialgleichungen

$\displaystyle \xi^\prime(t)=a(\xi(t),t) $

definierten Kurven $ t\mapsto \xi(t)$ als Charakteristiken. Entlang dieser Kurven genügt eine stetig differenzierbare Lösung

$\displaystyle p(t)=u(\xi(t),t) $

der linearen gewöhnlichen Differentialgleichung

$\displaystyle p^\prime(t)=\alpha(\xi(t),t)p(t)+f(\xi(t),t)\,, $

d.h. sie kann aus einem Anfangswert $ p(t_0)$ an der Stelle $ (\xi(t_0),t_0)$ durch Integration berechnet werden.

Ist sowohl $ \alpha$ als auch $ f$ gleich 0 , so ist die Lösung entlang der Charakteristiken konstant. Es muß dann nur das System gewöhnlicher Differentialgleichungen für $ \xi(t)$ gelöst werden.

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  automatisch erstellt am 19.  8. 2013