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Mathematik-Online-Lexikon: Erläuterung zu

Cauchy-Problem für eine lineare partielle Differentialgleichung erster Ordnung

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Das Cauchy-Problem

$\displaystyle u_t + a^{\operatorname t}(x,t)\operatorname{grad}_x u = \alpha(x,t) u + f(x,t),\quad u(x,0) = \varphi(x) $

mit stetig differenzierbaren Funktionen $ a_\nu, \alpha, f$ von $ n+1$ Variablen $ (x_1,\ldots,x_n,t)$ besitzt in der Umgebung jedes Punktes $ (x,0)$ eine eindeutige Lösung. Entlang der von $ (x,0)$ ausgehenden Charakteristik kann sie durch Integration der charakteristischen Differentialgleichungen

\begin{displaymath} \begin{array}{rcl} \xi^\prime(t) &=& a(\xi(t),t),\quad \xi(0... ...i(t),t) p(t) + f(\xi(t),t),\quad p(0) = \varphi(x) \end{array}\end{displaymath}

bestimmt werden: $ u(\xi(t),t)=p(t)$.

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  automatisch erstellt am 19.  8. 2013