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Mathematik-Online-Lexikon: Erläuterung zu

Cauchy-Problem für eine quasi-lineare partielle Differentialgleichung erster Ordnung

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Das Cauchy-Problem

$\displaystyle u_t + a(x,t,u)^{\operatorname t}\operatorname{grad}_x u = f(x,t,u),\quad u(x,0) = \varphi(x)\,, $

mit stetig differenzierbaren Funktionen $ a$ und $ f$ besitzt in der Umgebung jedes Punktes $ (x,0)$ eine eindeutige Lösung, die durch Integration der charakteristischen Differentialgleichungen

\begin{displaymath} \begin{array}{rcl} \xi^\prime(t) &=& a(\xi(t),t,p(t)),\quad ... ...me(t) &=& f(\xi(t),t,p(t)),\quad p(0) = \varphi(x) \end{array}\end{displaymath}

bestimmt werden kann: $ u(\xi(t),t)=p(t)$.

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  automatisch erstellt am 19.  8. 2013