Mo Logo [Home] [Lexikon] [Aufgaben] [Tests] [Kurse] [Begleitmaterial] [Hinweise] [Mitwirkende] [Publikationen]

Mathematik-Online-Lexikon: Erläuterung zu

Poisson-Formel für eine Kugel


A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z Übersicht

Eine in einer Kugel

$\displaystyle B: r=\vert(x_1,x_2,x_3)\vert<R
$

mit Oberfläche $ S$ harmonische und auf $ \bar{B}$ stetige Funktion $ u$ besitzt die Integraldarstellung

$\displaystyle u(x)=\frac{1}{4\pi R}\iint\limits_S\frac{R^2-\vert x\vert^2}{\vert x-y\vert^3}u(y)\,dy
\ ,\quad \vert x\vert<R\ .
$

Insbesondere gilt die Mittelwerteigenschaft

$\displaystyle u(0,0,0)=\frac{1}{4\pi R^2}\iint\limits_Su(y)\,dy\ .
$

Aus der Poisson-Formel folgt, daß harmonische Funktionen im Inneren ihres Definitionsgebietes unendlich oft differenzierbar sind. Desweiteren gilt das Maximumprinzip:

$\displaystyle \min_{\vert y\vert=R}u(y)\leq u(x)\leq \max_{\vert y\vert=R}
u(y),\quad \vert x\vert\leq R
\,.
$


(Inhalt vorübergehend nicht verfügbar)

[Zurück]

  automatisch erstellt am 19.  8. 2013