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Mathematik-Online-Lexikon: Erläuterung zu

Anfangsrandwertproblem für die eindimensionale Wellengleichung

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Die Lösung der Wellengleichung

$\displaystyle u_{tt}=c^2u_{xx}+f\ ,\quad x\in(0,\pi)\ ,\ t>0 $

für die Anfangs- und Randwerte

$\displaystyle u(x,0)=a(x)\,\quad u_t(x,0)=b(x)\ ,\quad u(0,t)=u(\pi,t)=0 $

lässt sich als Sinus-Reihe darstellen:

$\displaystyle u(x,t)=\sum_{j=1}^\infty u_j(t)\sin(jx) $

mit

$\displaystyle u_j(t)= a_j\cos(jct)+\frac{1}{jc}b_j\sin(jct)+ \frac{1}{jc}\int_0^t\sin(jc(t-s))f_j(s)\,ds\ , $

wobei $ a_j$, $ b_j$, $ f_j(t)$ die Sinus-Koeffizienten von $ a$,$ b$ und $ f(\cdot,t)$ bezeichnen.

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  automatisch erstellt am 19.  8. 2013