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Mathematik-Online-Lexikon: Erläuterung zu

Cauchy-Problem für die dreidimensionale Wellengleichung

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Die Lösung des Anfangswertproblems
$\displaystyle u_{tt}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle c^2 \Delta_x u\ ,\quad x\in\mathbb{R}^3\ ,\ t\geq 0\ ,$  
$\displaystyle u(x,0)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a(x)$  
$\displaystyle u_t(x,0)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle b(x)$  

lässt sich in der Form

$\displaystyle u(x,t)=\frac{1}{4\pi c^2t^2}\iint\limits_{\vert y-x\vert=ct}tb(y)+a(y)+ (y-x)^{\operatorname t}{\operatorname{grad}\,} a(y)\,dy $

darstellen.

\includegraphics[width=0.5\moimagesize]{wellengl.eps}

Insbesondere hängt also $ u(x,t)$ nur von Werten entlang des abgebildeten Lichtkegels ab.

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  automatisch erstellt am 19.  8. 2013