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Mathematik-Online-Lexikon: Erläuterung zu

Trapez-Regel für eine Differentialgleichung


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Integriert man die Lösung $ (u_1(t),\ldots,u_d(t))^t$ eines Differentialgleichungssystems

$\displaystyle u^\prime = f(t,u)
\,,
$

so folgt

$\displaystyle u(t+h) = u(t) + \int_t^{t+h}f(s,u(s))\,ds
\,.
$

Das Integral kann durch die Trapezregel angenähert werden. Ein Schritt $ u(t)\approx v \to w \approx u(t+h)$ des resultierenden Verfahrens hat dann die Form

$\displaystyle w = v + \frac{h}{2}(f(t,v)+f(t+h,w))
\,.
$

Die Trapezregel ist ein implizites Einschrittverfahren der Ordnung $ 2$.

Zur Durchführung eines Verfahrensschritts $ v\to w$ muss im allgemeinen ein nichtlineares Gleichungssystem gelöst werden. Näherungsweise kann dies durch einige wenige Schritte einer Fixpunktiteration

$\displaystyle w^{\mathrm{neu}} =
v + \frac{h}{2}(f(t,v)+f(t+h,w^{\mathrm{alt}}))
$

mit Startwert $ w=v$ geschehen.

Für ein lineares Differentialgleichungssystem

$\displaystyle u^\prime = A(t)u + b(t)
$

ist die Trapezregel einfacher realisierbar. Ein Schritt erfordert lediglich die Lösung des linearen Gleichungssystems

$\displaystyle \left(E-\frac{h}{2} A(t+h)\right) w =
\left(E+\frac{h}{2} A(t)\right) v +
\frac{h}{2}(b(t) + b(t+h))
$

mit $ E$ der $ d\times d$-Einheitsmatrix.

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  automatisch erstellt am 19.  8. 2013