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Mathematik-Online-Lexikon: Erläuterung zu

Identitäten für Binomialkoeffizienten

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Für Binomialkoeffizienten gelten folgende Identitäten:
$\displaystyle 2^n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \,,$  
0 $\displaystyle =$ $\displaystyle \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} (-1)^k\,,\quad n \geq 1\,,$  
$\displaystyle \binom{n}{k}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sum\limits_{i=0}^k \binom{n-k-1+i}{i}\,,\quad k < n\,,$  
$\displaystyle \binom{n}{k}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sum\limits_{i=0}^{n-k} \binom{k-1+i}{i}\,,\quad k > 0 \,.$  

Die ersten beiden Identitäten folgen unmittelbar aus dem Binomischen Lehrsatz,

$\displaystyle (a+b)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^{n-k}b^k \,, $

mit der Wahl $ a=b=1$ bzw. $ a=-b=1$.

Die dritte Identität folgt durch wiederholte Anwendung der Rekursionsformel:

$\displaystyle \binom{n}{k}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \binom{n-1}{k} + \binom{n-1}{k-1}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \binom{n-1}{k} + \binom{n-2}{k-1} + \binom{n-2}{k-2}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \ldots$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \binom{n-1}{k} + \binom{n-2}{k-1} + \ldots + \binom{n-k-1}{0}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \sum\limits_{i=0}^k \binom{n-k-1+i}{i} \,.$  

Durch die Substitution $ (n-k) \leftrightarrow k$ in dieser Gleichung ergibt sich die vierte Identität.

Die beiden letzten Identitäten können als Summationswege im Pascalschen Dreieck dargestellt werden.

\includegraphics[width=0.7\linewidth]{pic_pascal}

(Autoren: Höllig/Hörner)
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  automatisch erstellt am 11.  6. 2007