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Mathematik-Online-Lexikon: Erläuterung zu

Indirekter Beweis

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Um zu zeigen, dass aus Voraussetzungen $ V$ eine Behauptung $ B$ folgt ( $ V \Longrightarrow B$), kann man die Annahme, dass die Aussage $ B$ bei Gültigkeit der Voraussetzungen $ V$ falsch ist, zu einem Widerspruch führen:

$\displaystyle V\land(\lnot B)\,\Longrightarrow\,F \,, $

mit einer falschen Aussage $ F$, insbesondere $ F = \lnot V$ oder $ F=B$.

Speziell gilt

$\displaystyle B = (\lnot B \Longrightarrow F) \,=\,(\lnot B\Rightarrow B) \,, $

falls keine Voraussetzungen getroffen sind.
Die Implikation

$\displaystyle V \land (\lnot B)\,\Longrightarrow\,F $

ist äquivalent zu

$\displaystyle \lnot(V\land(\lnot B)) \lor F = (\lnot V) \lor B \lor F \,. $

Ist die Implikation wahr, das heißt wurde sie aus gültigen mathematischen Gesetzen gefolgert, so muss die Behauptung $ B$ wahr sein, denn $ \lnot V$ ist falsch und $ F$ ist entweder falsch oder gleich $ B$.

(Autoren: Höllig/Hörner)
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  automatisch erstellt am 11.  6. 2007