Mathematik-Online-Lexikon: Erläuterung zu Harmonizität analytischer Funktionen

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	Harmonizität analytischer Funktionen

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Real- und Imaginärteil einer in einem Gebiet

komplex differenzierbaren Funktion

$\displaystyle f(z)=u(x,y)+\mathrm{i}v(x,y)\,,\quad z=x+\mathrm{i}y\,,$

sind harmonisch, d.h.

$\displaystyle \triangle u=0\,, \quad\triangle v=0\,.$

Eine komplex differenzierbare Funktion ist unendlich oft differenzierbar. Damit folgt aus den Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen

$\displaystyle u_x=v_y\,, \quad u_y=-v_x$

aufgrund der Vertauschbarkeit partieller Ableitungen

$\displaystyle \triangle u=u_{xx}+u_{yy}=(v_y)_x+(-v_x)_y=0\,.$

Analog zeigt man $\triangle v=0$ .

automatisch erstellt am 15. 11. 2013