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Mathematik-Online-Lexikon: Erläuterung zu

Konjugiert harmonische Funktionen

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Jede auf einem einfach zusammenhängenden Gebiet $ D\subseteq\mathbb{R}^2$ zweimal stetig differenzierbare harmonische Funktion $ u$ ist Realteil einer komplex differenzierbaren Funktion $ f$:

$\displaystyle f(z)=u(x,y)+\mathrm{i} v(x,y)\,,\,\,z=x+\mathrm{i} y.$

Die reelle Funktion $ v=\operatorname{Im} f$ erfüllt ebenfalls $ \triangle v=0$. Sie wird als konjugiert harmonisch zu $ u$ bezeichnet und $ f$ als komplexes Potential.
Das Vektorfeld $ G=(-u_y,u_x)^t$ erfüllt wegen $ \triangle u=0$ die Integrabilitätsbedingung $ \partial_x G_y-\partial_y G_x=0$. Folglich existiert ein Potential $ v$ mit

$\displaystyle G=\operatorname{grad} v \Leftrightarrow -u_y=v_x\,,\,\,u_x=v_y.$

Es gelten für $ (u,v)$ also die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen, was die komplexe Differenzierbarkeit von $ f=u+\mathrm{i}v$ impliziert.
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  automatisch erstellt am 15. 11. 2013