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Mathematik-Online-Lexikon: Erläuterung zu

explizite Beschreibung einer Koordinatentransformation

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Es sei $ \mathbb{E}=(\vec0;e_1,\ldots,e_n)$ das Standardkoordinatensystem für $ K^n$,
und es sei $ {\color{darkblue} \mathbb{F}=(P;f_1,\ldots,f_n)}$ ein affines Koordinatensystem.

Wir bilden die Matrix $ F=(f_1,\ldots,f_n)$, deren Spalten die (Standardkoordinaten der) Elemente der neuen Basis sind.
Dann gilt für alle Punkte $ X\in K^n$:

$\displaystyle \vphantom{ X}_{{\color{darkblue} \mathbb{F}}} X$ $\displaystyle = F^{-1}\cdot(\vphantom{X}_ E X-P)$    
$\displaystyle \vphantom{X}_\mathbb{E} X$ $\displaystyle = F\cdot \vphantom{X}_{{\color{darkblue} \mathbb{F}}} X + P$    

Mit anderen Worten: Die Koordinatentransformation $ \vphantom{\kappa}_{{\color{darkblue} \mathbb{F}}}\kappa_\mathbb{E}$ ist gegeben durch $ \vphantom{\kappa}_{{\color{darkblue} \mathbb{F}}}\kappa_\mathbb{E}(v)=F^{-1}\,(v-P)$,
die umgekehrte Koordinatentransformation $ \vphantom{\kappa}_{{\color{darkblue} \mathbb{F}}}\kappa_\mathbb{E}$ sieht noch einfacher aus: $ \vphantom{\kappa}_{{\color{darkblue} \mathbb{F}}}\kappa_\mathbb{E}(v)=F\,v+P$.

Es sei $ X=(x_1,\ldots,x_n)$ ein Punkt, seine Koordinaten bezüglich  $ \mathbb{E}$ sind dann $ \vphantom{X}_\mathbb{E} X=(x_1,\ldots,x_n)^{\operatorname t}$.
Für $ (y_1,\ldots,y_n)^{\operatorname t}=\vphantom{X}_\mathbb{F} X$ gilt

$\displaystyle \sum_{j=1}^n x_j\,e_j = X = P + \sum_{j=1}^n y_j\,f_j \,. $

Außerdem gilt $ f_j=F\,e_j$ $ \left[\vphantom{\int} \right.$ weil $ f_j$ die $ j$-te Spalte von $ F$ ist $ \left.\vphantom{\int} \right]$.
Wir erhalten

$\displaystyle \sum_{j=1}^n x_j\,e_j = P + \sum_{j=1}^n y_j\,F\,e_j = P + F\left(\sum_{j=1}^n y_j\,e_j\right) \,. $

Das bedeutet gerade $ \vphantom{X}_\mathbb{E} X = P + F\cdot\vphantom{X}_\mathbb{F} X$, wie behauptet.

Die Beschreibung für $ \vphantom{\kappa}_\mathbb{F}\kappa_\mathbb{E}$ ergibt sich durch Invertieren von $ \vphantom{\kappa}_\mathbb{E}\kappa_\mathbb{F}$.

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  automatisch erstellt am 15.  8. 2006