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Mathematik-Online-Lexikon: Erläuterung zu

explizite Beschreibung einer Koordinatentransformation

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Es sei $ \mathbb{E}=(\vec0;e_1,\ldots,e_n)$ das Standardkoordinatensystem für $ K^n$,
und es sei $ {\color{darkblue} \mathbb{F}=(P;f_1,\ldots,f_n)}$ ein affines Koordinatensystem.

Wir bilden die Matrix $ F=(f_1,\ldots,f_n)$, deren Spalten die (Standardkoordinaten der) Elemente der neuen Basis sind.
Dann gilt für alle Punkte $ X\in K^n$:

$\displaystyle \vphantom{ X}_{{\color{darkblue} \mathbb{F}}} X$ $\displaystyle = F^{-1}\cdot(\vphantom{X}_ E X-P)$    
$\displaystyle \vphantom{X}_\mathbb{E} X$ $\displaystyle = F\cdot \vphantom{X}_{{\color{darkblue} \mathbb{F}}} X + P$    

Mit anderen Worten: Die Koordinatentransformation $ \vphantom{\kappa}_{{\color{darkblue} \mathbb{F}}}\kappa_\mathbb{E}$ ist gegeben durch $ \vphantom{\kappa}_{{\color{darkblue} \mathbb{F}}}\kappa_\mathbb{E}(v)=F^{-1}\,(v-P)$,
die umgekehrte Koordinatentransformation $ \vphantom{\kappa}_{{\color{darkblue} \mathbb{F}}}\kappa_\mathbb{E}$ sieht noch einfacher aus: $ \vphantom{\kappa}_{{\color{darkblue} \mathbb{F}}}\kappa_\mathbb{E}(v)=F\,v+P$.
Oft werden alte und neue Koordinaten durch Striche unterschieden:

Man schreibt etwa $ x=\vphantom{X}_\mathbb{E} X$ und $ x'=\vphantom{X}_\mathbb{O} X$.
Eine Koordinatentransformation gibt man dann als
$ x'=B^{-1}\,(x-p)$ oder $ x=B\,x'+p$ an.

Die hier eingeführten Bezeichnungen sind auf den ersten Blick aufwendiger, helfen aber zu verstehen, was man tut!
Außerdem helfen sie, Fehler zu finden. Vgl. auch die Bemerkung im letzten Abschnitt.

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  automatisch erstellt am 15.  8. 2006