Mathematik-Online-Lexikon: Erläuterung zu Satz

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	Satz

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Übersicht

Es sei $\mathbb{E}=(O;e_1,\ldots,e_n)$ das Standardkoordinatensystem für

Weiter seien

$\displaystyle {{\color{darkblue} \mathbb{F}}}=(P;f_1,\ldots,f_n) \,,\quad {{\color{darkorange}\mathbb{G}}}=(Q;g_1,\ldots,g_n)$ und $\displaystyle \quad {{\color{darkgreen} \mathbb{H}}}=(R;h_1,\ldots,h_n)$

affine Koordinatensysteme. Wir bilden die Matrizen

$\displaystyle F=(f_1,\ldots,f_n) \,,\quad G=(g_1,\ldots,g_n)$ und $\displaystyle \quad H=(h_1,\ldots,h_n) \,.$

Die Koordinatentransformation $\vphantom{\kappa}_{{\color{darkorange}\mathbb{G}}}\kappa_{{\color{darkblue}\mathbb{F}}}$ ist gegeben als Komposition $\vphantom{\kappa}_{{\color{darkorange}\mathbb{G}}}\kappa_{{\color{darkblue}\ma... ...mathbb{E}\circ\vphantom{\kappa}_\mathbb{E}\kappa_{{\color{darkblue}\mathbb{F}}}$ ,

$\displaystyle \llap{also }\quad \vphantom{\kappa}_{{\color{darkorange}\mathbb{G}}}\kappa_{{\color{darkblue}\mathbb{F}}}(v)$	$\displaystyle = \vphantom{\kappa}_{{\color{darkorange}\mathbb{G}}}\kappa_\mathb... ...om{\kappa}_{{\color{darkorange}\mathbb{G}}}\kappa_\mathbb{E}\left(F\,v+P\right)$
	$\displaystyle = G^{-1}\left(F\,v+P-Q\right) = G^{-1}F\,v + G^{-1}(P-Q) \,.$

Allgemein gilt

$\displaystyle \vphantom{\kappa}_{{\color{darkgreen}\mathbb{H}}}\kappa_{{\color{... ...ppa}_{{\color{darkorange}\mathbb{G}}}\kappa_{{\color{darkblue}\mathbb{F}}} \,.$

In Matrizen und Translationsvektoren ausgedrückt, lautet die letzte Gleichung folgendermaßen:

$\displaystyle H^{-1}F\,v + H^{-1}(P-R)$	$\displaystyle = \vphantom{\kappa}_{{\color{darkgreen}\mathbb{H}}}\kappa_{{\colo... ..._{{\color{darkorange}\mathbb{G}}}\kappa_{{\color{darkblue}\mathbb{F}}}\bigr)(v)$
	$\displaystyle = H^{-1}G\left(G^{-1}F\,v + G^{-1}(P-Q)\right) + H^{-1}(Q-R)$
	$\displaystyle = H^{-1}{\color{darkorange}GG^{-1}}F\,v + H^{-1}{\color{darkorange}GG^{-1}}(P-Q) + H^{-1}(Q-R)$
	$\displaystyle = H^{-1}F\,v + H^{-1}(P{\color{darkorange}{}-Q+Q}-R) \,.$

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automatisch erstellt am 15. 8. 2006