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Mathematik-Online-Lexikon: Erläuterung zu

Satz


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Es sei $ \mathbb{E}=(O;e_1,\ldots,e_n)$ das Standardkoordinatensystem für $ K^n$.

Weiter seien

$\displaystyle {{\color{darkblue} \mathbb{F}}}=(P;f_1,\ldots,f_n) \,,\quad
{{\color{darkorange}\mathbb{G}}}=(Q;g_1,\ldots,g_n)$    und $\displaystyle \quad
{{\color{darkgreen} \mathbb{H}}}=(R;h_1,\ldots,h_n)
$

affine Koordinatensysteme. Wir bilden die Matrizen

$\displaystyle F=(f_1,\ldots,f_n) \,,\quad
G=(g_1,\ldots,g_n)$    und $\displaystyle \quad
H=(h_1,\ldots,h_n) \,.
$

Die Koordinatentransformation $ \vphantom{\kappa}_{{\color{darkorange}\mathbb{G}}}\kappa_{{\color{darkblue}\mathbb{F}}}$ ist gegeben als Komposition $ \vphantom{\kappa}_{{\color{darkorange}\mathbb{G}}}\kappa_{{\color{darkblue}\ma...
...mathbb{E}\circ\vphantom{\kappa}_\mathbb{E}\kappa_{{\color{darkblue}\mathbb{F}}}$,

$\displaystyle \llap{also }\quad \vphantom{\kappa}_{{\color{darkorange}\mathbb{G}}}\kappa_{{\color{darkblue}\mathbb{F}}}(v)$ $\displaystyle = \vphantom{\kappa}_{{\color{darkorange}\mathbb{G}}}\kappa_\mathb...
...om{\kappa}_{{\color{darkorange}\mathbb{G}}}\kappa_\mathbb{E}\left(F\,v+P\right)$    
  $\displaystyle = G^{-1}\left(F\,v+P-Q\right) = G^{-1}F\,v + G^{-1}(P-Q) \,.$    

Allgemein gilt

$\displaystyle \vphantom{\kappa}_{{\color{darkgreen}\mathbb{H}}}\kappa_{{\color{...
...ppa}_{{\color{darkorange}\mathbb{G}}}\kappa_{{\color{darkblue}\mathbb{F}}} \,.
$


In Matrizen und Translationsvektoren ausgedrückt, lautet die letzte Gleichung folgendermaßen:

$\displaystyle H^{-1}F\,v + H^{-1}(P-R)$ $\displaystyle = \vphantom{\kappa}_{{\color{darkgreen}\mathbb{H}}}\kappa_{{\colo...
..._{{\color{darkorange}\mathbb{G}}}\kappa_{{\color{darkblue}\mathbb{F}}}\bigr)(v)$    
  $\displaystyle = H^{-1}G\left(G^{-1}F\,v + G^{-1}(P-Q)\right) + H^{-1}(Q-R)$    
  $\displaystyle = H^{-1}{\color{darkorange}GG^{-1}}F\,v + H^{-1}{\color{darkorange}GG^{-1}}(P-Q) + H^{-1}(Q-R)$    
  $\displaystyle = H^{-1}F\,v + H^{-1}(P{\color{darkorange}{}-Q+Q}-R) \,.$    


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  automatisch erstellt am 15.  8. 2006