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Mathematik-Online-Lexikon: Erläuterung zu

Untergruppenkriterium

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Sei $ U$ eine Teilmenge der Gruppe $ G$.

$ U$ ist genau dann eine Untergruppe von $ G$, wenn für alle $ a,b \in U$ gilt

$\displaystyle a \cdot b^{-1} \in U \,. $

Ist $ G$ eine endliche Gruppe, dann ist $ U$ genau dann eine Untergruppe von $ G$, wenn für alle $ a,b \in U$ gilt

$\displaystyle a \cdot b \in U \,. $

Ist $ U$ eine Untergruppe von $ G$, dann ist für $ a,b \in U$ trivialerweise $ a\cdot b^{-1} \in U$.

Es ist also umgekehrt zu zeigen, dass $ U$ eine Gruppe ist, wenn für alle $ a,b \in U$ gilt $ a\cdot b^{-1} \in U$.

Die Assoziativität von $ U$ folgt aus der Assoziativität von $ G$. Für beliebiges $ a \in U$ wählt man $ b$ als $ b=a$. Dann ist $ a \cdot b^{-1}=a \cdot a^{-1}=1_G \in U$. Somit ist das neutrale Element von $ G$ in $ U$ enthalten, und es gilt $ 1_G=1_U$. Es bleibt noch zu zeigen das für jedes Element $ u \in U$ auch $ u^{-1} \in U$ ist. Dazu wählt man $ a=1$ und $ b=u$. Dann ist nach Voraussetzung $ a \cdot b^{-1}=1 \cdot u^{-1}=u^{-1} \in U$.

Ist $ G$ eine endliche Gruppe, dann besitzt jedes Element endliche Ordnung. Für ein Element $ u \in U$ ist dann auch $ u \cdot u=u^2 \in U$ (mit der Wahl $ a=b=u$). Durch iterieren erhält man für alle $ n \in \mathbb{N}$, dass $ u^n \in u$ ist. Sei nun $ m \in \mathbb{N}$ die Ordnung von von $ u$, d.h. $ u^m=1$. Dann ist $ 1=u^m=u \cdot u^{m-1}$ und damit $ u^{-1}=u^{m-1} \in U$.

(Autor: Höfert )
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  automatisch erstellt am 7.  9. 2006