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Mathematik-Online-Lexikon: Erläuterung zu

Faktorgruppe

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Es sei $ N$ eine Untergruppe von $ G$.

$ N$ ist genau dann ein Normalteiler, wenn die Linksnebenklassen von $ N$ in $ G$ gleich den Rechtsnebenklassen sind.

Ist $ N$ normal in $ G$ dann wird die Menge der (Links-)Nebenklassen $ \{gN\vert g\in g\}$ via

$\displaystyle g_1N \cdot g_2N=(g_1 \cdot g_2)N$    für $\displaystyle g_1,g_2 \in G $

zu einer Gruppe. Diese Gruppe nennt man die Faktorgruppe von $ G$ nach $ N$ oder aber auch den Quotienten $ G$ modulo $ N$.
Schreibweise: $ G/N$.

Ist $ G$ eine endliche Gruppe, dann gilt

$\displaystyle \vert G\vert=\vert N\vert \cdot \vert G/N\vert \,. $


Bemerkung: Die Menge der Linksnebenklassen wird mit obiger Multiplikation genau dann eine Gruppe, wenn $ N$ normal in $ G$ ist.
Ist $ N$ ein Normalteiler von $ G$, dann gilt

$\displaystyle N$    Normalteiler von $\displaystyle G \Leftrightarrow \forall g \in G : g^{-1}Ng=N \Leftrightarrow Ng=gN \,. $

Seien nun $ g_1N,g_2N,g_3N \in G/N$, dann ist

$\displaystyle (g_1N \cdot g_2N)\cdot g_3N=g_1g_2N\cdot g_3N=g_1g_2g_3N=g_1N\cdot g_2g_3N=g_1N\cdot(g_2N \cdot g_3N) \,. $

Das neutrale Element von $ G/N$ ist $ N=1N$, da

$\displaystyle \forall g \in G \ : \ N \cdot gN = gN =gN \cdot N \,. $

Für ein $ gN \in G/N$ ist $ g^{-1}N$ das Inverse, denn es ist

$\displaystyle gN\cdot g^{-1}N=gg^{-1}N=N=g^{-1}gN=g^{-1}NgN \,. $

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  automatisch erstellt am 6. 11. 2006