Mathematik-Online-Lexikon: Erläuterung zu Satz von Lagrange

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	Mathematik-Online-Lexikon: Erläuterung zu
	Satz von Lagrange

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Übersicht

Sei

eine endliche Gruppe und

eine Untergruppe von

. Dann gilt

$\displaystyle \vert G\vert=\vert H\vert\cdot\vert G:H\vert.$

Insbesondere teilt also die Ordnung einer Untergruppe die Gruppenordnung.

Zunächst zeigt man

Behauptung 1: Durch

$\displaystyle a \sim b \ \Longleftrightarrow \ aH=bH \ ; \ a,b \in G$

ist auf

eine Äquivalenzrelation gegeben.

Beweis.

Reflexivität: $aH=aH \ \Rightarrow a \sim a$
Symmeterie: $a \sim b \ \Rightarrow \ aH=bH \ \Rightarrow \ bH=aH \ \Rightarrow \ b \sim a$
Transitivität: $a \sim b$ und $b \sim c \ \Rightarrow \ aH=bH=cH \ \Rightarrow \ a \sim c$ .

Behauptung 1 zeigt, dass die Linksnebenklassen die Gruppe in disjunkte Teilmengen zerlegen. Es bleibt noch zu zeigen, dass für verschiedene $a,b \in G$ die Nebenklassen und gleich gross sind. Dazu benutzt man

Behauptung 2: Die Abbildung

$\displaystyle \varphi : aH \longrightarrow bH \ : \ ah \longmapsto \varphi(ah):=bh$

ist eine Bijektion zwischen

und

Beweis.

Injektivität: Sei $bh_1=\varphi(ah_1)=\varphi(ah_2)=bh_2$ . Multipliziert man von links mit $b^{-1}$ , dann folgt $h_1=b^{-1}bh_1=b^{-1}bh_2=h_2$ .
Surjetivität: Für beliebiges $bh \in bH$ ist $bh=\varphi(ah)$ mit $ah \in aH$ .

Behauptung 2 liefert also $\vert aH\vert=\vert bH\vert$ für alle $a,b \in G$ .

Zusammengefasst erhält man nun

$\displaystyle G= \bigcup \limits_{aH \in G/H } aH \ \Longrightarrow \ \vert G\v... ...H\vert=\vert H\vert \cdot \vert G/H\vert=\vert H\vert \cdot \vert G:H\vert \,.$

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automatisch erstellt am 12. 9. 2006