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Mathematik-Online-Lexikon: Erläuterung zu

Isomorphiesätze

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a)
Es seien $ A,B,C \unlhd G$ mit $ A \leq B \leq C$. Dann gilt

$\displaystyle (C \, / \,A) \, / \, (B \, / \, A) \cong C \, / \, B $

b)
Sei $ N \unlhd G$ und $ U \leq G $. Dann ist $ N \cap U \unlhd U$ und es gilt

$\displaystyle U \, / \, (U \cap N) \cong (U \cdot N) \, / \, N $

Bemerkung:

Für $ U,V \leq G$ bezeichnet $ U\cdot V = \left \{ uv \ \vert \ u\in U, v \in V \right \} \subseteq G$ das Komplexprodukt von $ U$ und $ V$. Im Allgemeinen ist das Komplexprodukt $ U \cdot V$ zweier Untergruppen $ U$ und $ V$ von $ G$ keine Untergruppe von $ G$. Für $ N \unlhd G$ und $ U \leq G $ gilt aber $ N \cdot U= U \cdot N \leq G$.

a)
Mit $ A\leq B \leq C$ und $ C \unlhd G$ sind auch $ A$ und $ B$ normal in $ G$. Definiere die Abbildung

$\displaystyle \varphi \ : \ C/A \ \longrightarrow C/B \ : \ cA \longmapsto \ cB \,. $

$ \varphi$ ist wohldefiniert, denn für $ c_1,c_2 \in C$ mit $ c_1A=c_2A$ gibt es ein $ a \in A \leq B$ mit $ c_1=c_2a$ und es gilt

$\displaystyle \varphi(c_1A)=c_1B=c_2aB=c_2B=\varphi(c_2A) \,. $

$ \varphi$ ist ein Homorphismus. Für $ c_1A,c_2A \in C/A$ gilt

$\displaystyle \varphi(c_1Ac_2A)=\varphi(c_1c_2A)=c_1c_2B=c_1Bc_2B=\varphi(c_1A)\varphi(c_2A) \,. $

Der Kern von $ \varphi$ ist wegen

$\displaystyle cA \in ker(\varphi) \ \Leftrightarrow \ B=\varphi(cA)=cB \ \Leftrightarrow \ c \in B $

isomorph zu $ B/A$. Nach dem Homomorphiesatz gilt daher $ B/A \unlhd C/A$ und $ C/B \cong C/A \big / B/A$.

b)
Zunächst zeigt man, dass $ N \cap U$ ein Normalteiler von $ U$ ist. Für $ u \in N \cap U$ und $ v \in U$ ist $ v^{-1}uv \in U$ ($ U$ ist Gruppe) und $ v^{-1}uv \in N$ ($ N$ ist Normalteiler). Also ist $ N \cap U$ normal in $ U$.

Die Abbildung

$\displaystyle \varphi \ : \ UN/N \ \longrightarrow \ U/(N \cap U) \ : \ \varphi(uN)=u(N \cap U) $

ist ein wohldefinierter, surjektiver Gruppenhomomorphismus.

Wohldefiniertheit: Für $ u_1N=u_2N \in UN/N$ folgt $ u_1\cdot u_2^{-1} \in U \cap N$ und es gilt daher $ u_1(N \cap U)=u_2(N \cap U)$.

Homorphismus: Für $ u_1N,u_2N \in UN/N$ gilt

$\displaystyle \varphi(u_1Nu_2N)=u_1(N \cap U)u_2(N \cap U)=u_1u_2(N \cap U)=\varphi(N \cap U) \,. $

Die Surjektivität ist klar. Der Kern von $ \varphi$ besteht genau aus den Nebenklassen $ uN \in UN/N$ mit $ u(N \cap U)=N \cap U$, d.h. aus Nebenklassen mit $ uN=N$. Der Homorphiesatz liefert dann die Behauptung.

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  automatisch erstellt am 6. 11. 2006