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Mathematik-Online-Lexikon: Erläuterung zu

Erzeugung der allgemeinen und der speziellen linearen Gruppe durch Elementarmatrizen

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$ GL(n,K)$ wird von den Elementarmatrizen erzeugt.

$ SL(n,K)$ wird von den Elementarmatrizen vom Typ(1) erzeugt (d. h. Matrizen der Form $ F_{ij}(\alpha) := E_{n} + \alpha E_{ij}$ für $ \alpha \in K$ und $ 1\leq i \not= j \leq n$).
Insbesondere wird die Gruppe $ SL(2,K)$ von den Matrizen

$\displaystyle \begin{pmatrix}1 & \alpha \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \hspace{0.5cm} {... ... & 1 \end{pmatrix} \hspace{0.5cm} {\rm mit} \hspace{0.2cm} \alpha, \beta \in K$

erzeugt.

Jede Matrix $ A$ aus $ GL(n,K)$ kann durch elementare Zeilenumformungen in die Einheitsmatrix übergeführt werden, d.h. $ A^{-1}$, also auch $ A$, ist Produkt von Elementarmatrizen. Umgekehrt liegen alle Elementarmatrizen in $ GL(n,K)$.

(Autor: Borgart)
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  automatisch erstellt am 6. 10. 2006