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Mathematik-Online-Lexikon: Erläuterung zu

Regeln für stetige Funktionen

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Für in einem Punkt $ a$ stetige Funktionen $ f$ und $ g$ sind
    $\displaystyle rf\quad(r\in\mathbb{R})$  
    $\displaystyle f\pm g$  
    $\displaystyle fg$  
    $\displaystyle f/g \quad($falls $\displaystyle g(a)\neq 0)$  
    $\displaystyle f\circ g$  

in $ a$ stetig.

Entsprechendes gilt für auf einem Intervall $ D$ stetige Funktion sowie für links- und rechtsseitige Stetigkeitsstellen.

Die Regeln ergeben sich unmittelbar aus den entsprechenden Aussagen für Grenzwerte. Betrachtet man beispielsweise die Komposition stetiger Funktionen, so folgt aus der Stetigkeit von $ g$ für jede Folge $ (x_n)$ mit Grenzwert $ a$

$\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty} g(x_n) = g(a). $

Da $ f$ ebenfalls stetig ist, folgt

$\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty} f(g(x_n)) = f(g(a)).$

(Autoren: App/Höllig )
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  automatisch erstellt am 8.  4. 2008