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Mathematik-Online-Lexikon: Erläuterung zu

Erzeugung der allgemeinen und der speziellen linearen Gruppe durch Elementarmatrizen

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$ GL(n,K)$ wird von den Elementarmatrizen erzeugt.

$ SL(n,K)$ wird von den Elementarmatrizen vom Typ(1) erzeugt (d. h. Matrizen der Form $ F_{ij}(\alpha) := E_{n} + \alpha E_{ij}$ für $ \alpha \in K$ und $ 1\leq i \not= j \leq n$).
Insbesondere wird die Gruppe $ SL(2,K)$ von den Matrizen

$\displaystyle \begin{pmatrix}1 & \alpha \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \hspace{0.5cm} {... ... & 1 \end{pmatrix} \hspace{0.5cm} {\rm mit} \hspace{0.2cm} \alpha, \beta \in K$

erzeugt.

Offensichtlich sind die Matrizen vom Typ(1) in $ SL(n,K)$ enthalten.
Sei $ A = (\alpha_{ij}) \in SL(n,K)$ beliebig. Wir zeigen, dass $ A$ ein endliches Produkt aus den Matrizen vom Typ (1) ist:

Falls $ \alpha_{21} = 0$, dann muss es ein i $ \not =$ 2 geben, so dass $ \alpha_{i1} \not = 0$, da $ A$ sonst nicht invertierbar sein kann. Addition der i-ten Zeile zur zweiten ergibt eine neue Matrix ( $ \alpha_{ij}$) mit $ \alpha_{21} \not = 0$. Dies entspricht der Multiplikation der Matrix $ A$ von links mit der Matrix $ F_{2i}(1)$. Also können wir im weiteren annehmen, dass $ \alpha_{21} \not = 0$.

Addition des $ (1-\alpha_{11})\alpha^{-1}_{21}$-fachen der zweiten Zeile zur ersten ergibt eine Matrix $ (\alpha_{ij})$ mit $ \alpha_{11} = 1$. Durch Addition des $ (-\alpha_{i1})$-fachen der ersten Zeile zur i-ten, i > 1, erhalten wir schließlich eine Matrix der Form

$\displaystyle \begin{pmatrix}1 & \vert & \ast & \ldots & \ast \\ \noalign{\hrul... ...h 0.01cm} 0 &\mid & & & \\ \vdots & \mid & & B & \\ 0 &\mid & & &\end{pmatrix}$

mit $ B \in SL(n-1, K)$. Fahren wir so fort, so ergibt sich nach endlich vielen Multiplikationen von $ A$ mit den Elementarmatrizen von Typ (1) eine obere Dreicksmatrix, deren Hauptdiagonalelemente gleich 1 sind:

$\displaystyle \begin{pmatrix}1 & \ast & \ldots & \ast \\ 0 & 1 & & \ast \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \ldots & 1\end{pmatrix}.$

Hieraus entsteht aber in ähnlicher Weise durch elementare Zeilenumformungen vom Typ (1) die Einheitsmatrix. Da das Inverse einer Matrix vom Typ (1) ebenso eine Matrix vom Typ (1) ist, ist $ A$ ein Produkt aus endlich vielen Matrizen vom Typ (1).

(Autor: Borgart)
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  automatisch erstellt am 11. 10. 2006