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Mathematik-Online-Lexikon: Erläuterung zu

Zusammenhang und die Gruppen GL(n,K), SL(n,K)

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  1. $ SL(n,\mathbb{R})$, $ SL(n,\mathbb{C})$, $ GL(n,\mathbb{C})$ sind zusammenhängend.
    $ GL(n,\mathbb{R})$ ist nicht zusammenhängend, die Zusammenhangskomponenten sind

    $\displaystyle GL(n,\mathbb{R})^{+} = \{A \in GL(n,\mathbb{R}) \mid detA > 0 \},$

    $\displaystyle GL(n,\mathbb{R})^{-} = \{A \in GL(n,\mathbb{R}) \mid detA < 0 \}.$

    $ GL(n,\mathbb{R})^{+}$ ist die Einskomponente von $ GL(n,\mathbb{R})$.


  2. Sei $ G \leq GL(n,K)$, $ \tilde G$ die Einskomponente. Dann gilt:

$ SL(n,K)$ wird durch die Elementarmatrizen $ F_{ij}(\alpha), \hspace{0.2cm} 1 \leq i,j \leq n, \hspace{0.2cm}$ $ \alpha \in K$ erzeugt. Es genügt also jede dieser Matrizen durch einen Weg in $ SL(n,K)$ mit $ E_{n} = F_{ij}(0)$ zu verbinden. Ein solcher Weg ist offensichtlich

$\displaystyle t \mapsto F_{ij}((1- t)\alpha), \hspace{0.3cm} t \in [0,1].$

Für jede Matrix $ A \in GL(n,\mathbb{C})$ gibt es eine Matrix $ B \in SL(n,\mathbb{C})$ und ein $ \alpha \in \mathbb{C}^{\times}$, so dass

$\displaystyle A = B \cdot F_{n}(\alpha) \hspace{0.4cm} mit \hspace{0.3cm} F_{n}(\alpha) = \begin{pmatrix}1 & & \\ & \ddots & \\ & &\alpha \end{pmatrix}.$

Es bleibt also zu zeigen, dass $ F_{n}(\alpha)$ mit $ E_{n}$ verbindbar ist.
Die Menge $ \{F_{n}(\alpha) \vert \alpha \in \mathbb{C}^{\times} \}$ ist aber isomorph zu $ \mathbb{C}^{\times}$ und $ \mathbb{C}^{\times}$ ist zusammenhängend. Damit folgt der Zusammenhang von $ GL(n,\mathbb{C}).$

Nun nehmen wir an, dass $ GL(n,\mathbb{R})$ zusammenhängend ist. Dann gibt es auch einen Weg $ \gamma$ von $ GL(n,\mathbb{R})^{+}$ nach $ GL(n,\mathbb{R})^{-}$. Dann ist $ det \circ \gamma$ ein Weg von $ \mathbb{R}^{\times}_{+}$, was nicht sein kann.

(Autor: Borgart)
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  automatisch erstellt am 11. 10. 2006