Mathematik-Online-Lexikon: Erläuterung zu Spezialfall: SO(3)

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	Spezialfall: SO(3)

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Übersicht

ist die Menge reeller orthogonalen 3 $\times$ 3-Matrizen mit Determinante 1.

Typische Elemente sind die ,,Drehungen um die $e_{1}$ , $e_{2}$ , und $e_{3}$ -Achse``, d.h.

$\displaystyle S_{1}(t) = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & cos \, t & -sin \, t\\ ... ..., t & 0\\ sin \, t & cos \, t & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}. \\ \vspace{1.2cm}$

Zu jedem $A \in SO(3)$ gibt es $\alpha, \beta, \gamma \in \mathbb{R}$ , so dass

$\displaystyle A = S_{3}(\alpha) \; S_{1}(\beta) \; S_{3}(\gamma).$

$\alpha, \beta, \gamma$ werden als ,,Eulersche Winkel`` bezeichnet. Insbesondere wird

von den Drehungen $S_{1}(t)$ , $S_{3}(t)$ mit $t \in \mathbb{R}$ erzeugt.

Es sei $A = (a_{ij})$ . Wir setzen $B = (b_{ij}) := S_{3}(-\alpha)A S_{3}(-\gamma)$ und bestimmen $\alpha, \beta, \gamma$ so, dass $B = S_{1}(\beta)$ . Aus dieser Gleichung folgt:

Wegen $b_{33} = a_{33}$ und $\vert a_{33}\vert \leq 1$ gibt es ein $\beta \in [0, \pi]$ , so dass

$\displaystyle cos\,\beta = b_{33}.$
Es gilt $b_{13} = a_{13}\,cos \,\alpha + a_{23}\,sin\,\alpha$ . Es kann ein $\alpha \in [0, 2\pi[$ gewählt werden, so dass $a_{13}\,cos\,\alpha + a_{23}\, sin\,\alpha = 0$ . Damit ist auch

$\displaystyle b_{13} = 0.$
Nun wählen wir ein $\gamma \in [0,2\pi[$ so, dass

$\displaystyle \begin{pmatrix}cos\,\alpha,& sin\,\alpha \end{pmatrix}\begin{pmat... ..._{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}cos\,\gamma,& -sin\,\gamma \end{pmatrix}.$
Dies ist möglich, weil auf der rechten Seite der Gleichung insgesamt ein Vektor vom Betrag 1 steht. Daraus folgt, dass

$\displaystyle b_{11} = (a_{11}\,cos\,\alpha +a_{21}\,sin\,\alpha)\,cos\,\gamma ... ...a + a_{22}\,sin\,\alpha)(-sin\,\gamma) = cos^{2}\,\gamma + sin^{2}\,\gamma = 1.$
Wegen der Orthogonalität von muss auch orthogonal sein, d.h. es muss gelten $B^{t}B = E_{3}$ . Mit $b_{13} = 0$ folgt daraus

$\displaystyle b_{12} = b_{21} = b_{31} = 0, \hspace{0.3cm} b_{22} = cos\,\beta, \hspace{0.3cm} b_{32} = sin\,\beta,\hspace{0.3cm} b_{23} = -sin\,\beta.$
Also gilt insgesamt: $B = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & cos\,\beta& -sin\,\beta\\ 0 & sin\,\beta & cos\,\beta \end{pmatrix} = S_{1}(\beta) \vspace{0.4cm}$ .