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Mathematik-Online-Lexikon: Erläuterung zu

Spezialfall: SO(3)


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$ SO(3)$ ist die Menge reeller orthogonalen 3$ \times$3-Matrizen mit Determinante 1.

Typische Elemente sind die ,,Drehungen um die $ e_{1}$, $ e_{2}$, und $ e_{3}$-Achse``, d.h.

$\displaystyle S_{1}(t) = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & cos \, t & -sin \, t\\ ...
...,
t & 0\\ sin \, t & cos \, t & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}. \\ \vspace{1.2cm}$



Zu jedem $ A \in SO(3)$ gibt es $ \alpha, \beta, \gamma \in \mathbb{R}$, so dass

$\displaystyle A = S_{3}(\alpha) \; S_{1}(\beta) \; S_{3}(\gamma).$

$ \alpha, \beta, \gamma$ werden als ,,Eulersche Winkel`` bezeichnet. Insbesondere wird $ SO(3)$ von den Drehungen $ S_{1}(t)$, $ S_{3}(t)$ mit $ t \in \mathbb{R}$ erzeugt.


Es sei $ A = (a_{ij})$. Wir setzen $ B = (b_{ij}) := S_{3}(-\alpha)A S_{3}(-\gamma)$ und bestimmen $ \alpha, \beta, \gamma$ so, dass $ B = S_{1}(\beta)$. Aus dieser Gleichung folgt:
  1. Wegen $ b_{33} = a_{33}$ und $ \vert a_{33}\vert \leq 1$ gibt es ein $ \beta \in [0, \pi]$, so dass

    $\displaystyle cos\,\beta = b_{33}.$

  2. Es gilt $ b_{13} = a_{13}\,cos \,\alpha + a_{23}\,sin\,\alpha$. Es kann ein $ \alpha \in [0, 2\pi[$ gewählt werden, so dass $ a_{13}\,cos\,\alpha + a_{23}\,
sin\,\alpha = 0$. Damit ist auch

    $\displaystyle b_{13} = 0.$

  3. Nun wählen wir ein $ \gamma \in [0,2\pi[$ so, dass

    $\displaystyle \begin{pmatrix}cos\,\alpha,& sin\,\alpha \end{pmatrix}\begin{pmat...
..._{22} \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}cos\,\gamma,& -sin\,\gamma \end{pmatrix}.$

    Dies ist möglich, weil auf der rechten Seite der Gleichung insgesamt ein Vektor vom Betrag 1 steht. Daraus folgt, dass

    $\displaystyle b_{11} = (a_{11}\,cos\,\alpha +a_{21}\,sin\,\alpha)\,cos\,\gamma ...
...a
+ a_{22}\,sin\,\alpha)(-sin\,\gamma) = cos^{2}\,\gamma + sin^{2}\,\gamma = 1.$

  4. Wegen der Orthogonalität von $ A$ muss auch $ B$ orthogonal sein, d.h. es muss gelten $ B^{t}B = E_{3}$. Mit $ b_{13} = 0$ folgt daraus

    $\displaystyle b_{12} = b_{21} = b_{31} = 0,
\hspace{0.3cm} b_{22} = cos\,\beta, \hspace{0.3cm} b_{32} = sin\,\beta,\hspace{0.3cm}
b_{23} = -sin\,\beta.$

    Also gilt insgesamt: $ B = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & cos\,\beta& -sin\,\beta\\ 0 &
sin\,\beta & cos\,\beta \end{pmatrix} = S_{1}(\beta) \vspace{0.4cm}$.
Nach Konstruktion von $ \alpha, \beta, \gamma$ ist ausserdem die folgende Abbildung bijektiv:

$\displaystyle [0, 2\pi[ \times [0, \pi] \times [0, 2\pi[ \rightarrow SO(3)$

$\displaystyle (\alpha, \beta, \gamma) \mapsto S_{3}(\alpha)S_{1}(\beta)S_{3}(\gamma).$

(Autor: Borgart)

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  automatisch erstellt am 13. 10. 2006