Mo Logo [Home] [Lexikon] [Aufgaben] [Tests] [Kurse] [Begleitmaterial] [Hinweise] [Mitwirkende] [Publikationen]
Mathematik-Online-Lexikon: Erläuterung zu

Spezialfall: SU(2)

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z Übersicht
Die Menge $ SU(2)$ besteht aus den komplexwertigen unitären 2$ \times$2-Matrizen mit Determinante 1, d.h.

$\displaystyle SU(2) = \Big{\{} \begin{pmatrix}z & -u\\ \bar{u} & \bar{z} \end{p... ...pace{0.1cm} u \in \mathbb{C}, \hspace{0.2cm} z \bar{z} +u \bar{u} = 1 \Big{\}}.$

Die speziellen Elemente sind

$\displaystyle T(t) = \begin{pmatrix}cos \, t & -sin \, t\\ sin \, t & cos \, t... ...x},\hspace{0.5cm} S(t) = \begin{pmatrix}e^ {it} & 0\\ 0 & e^{-it}\end{pmatrix}.$

Zu jedem $ A \in SU(2)$ gibt es $ \alpha, \beta, \gamma \in \mathbb{R}$, so dass

$\displaystyle A = S(\alpha) \; T(\beta) \; S(\gamma).$

Insbesondere wird $ SU(2)$ erzeugt von den Matrizen $ T(t), \hspace{0.2cm} S(t), \hspace{0.2cm} t \in \mathbb{R}$.

Sei $ A = \begin{pmatrix}z & -u\\ \bar{u} & \bar{z} \end{pmatrix} \in SU(2)$. Die Zahlen $ z$ und $ u$ haben eine Darstellung in Polarkoordinaten,
d.h. es gibt $ r, s \in \mathbb{R}_{+}$ und $ t_{2}, t_{3} \in [0,2\pi]$ so, dass

$\displaystyle z = re^{it_{2}} \hspace{0.3cm} und \hspace{0.3cm} u = se^{it_{3}}.$

Wegen det$ A$ = 1 gilt $ r^2 +s^2$ = 1, d.h. es gibt ein $ t_{1} \in [0,\pi]$ so, dass

$\displaystyle r = cos \, t_{1} \hspace{0.3cm} und \hspace{0.3cm} s = sin \,t_{1}.$

Also hat $ A$ folgende Form

$\displaystyle A= \begin{pmatrix}cos \,t_{1}\,e^{it_{2}} & -sin\, t_{1}\,e^{it_{3}}\\ sin \, t_{1} \, e^{-it_{3}} & cos \, t_{1} \, e^{-it_{2}} \end{pmatrix}.$

Setzt man $ \alpha = t_{1},\hspace{0.2cm} \beta = \frac{t_{2}+t_{3}}{2},\hspace{0.2cm} \gamma = \frac{t_{2}-t_{3}}{2},$ so erhält man

$\displaystyle A = \begin{pmatrix}e^{i\beta} & 0\\ 0 & e^{-i\beta} \end{pmatrix}... ...a \end{pmatrix}\begin{pmatrix}e^{i\gamma} & 0\\ 0 & e^{-i\gamma} \end{pmatrix}.$

(Autor: Borgart)
[Zurück zur Aussage]
  automatisch erstellt am 13. 10. 2006