Mathematik-Online-Lexikon: Erläuterung zu Isomorphie der eigentlichen Lorentz-Gruppe mit SL(2,C)/{E} und SO(3) mit SU(2)/{E}

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	Isomorphie der eigentlichen Lorentz-Gruppe mit SL(2,C)/{E} und SO(3) mit SU(2)/{E}

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Übersicht

Wir betrachten die Menge $V = \{ X \in Mat(2, \mathbb{C}) \mid \overline{X}^{\,t} = X \}$ der hermiteschen 2 $\times$ 2-Matrizen zusammen mit einer symmetrischen Bilinearform $\sigma: V \times V \rightarrow \mathbb{R}:$

$\displaystyle \sigma(X,Y) = -\frac{1}{2}\Big{[} det(X+Y) - detX - detY \Big{]}$

Durch Nachrechnen erhält man: $\hspace{0.5cm}V = \Big{\{} \begin{pmatrix}\alpha & \bar{z}\\ z & \beta \end{pm... ...\beta \in \mathbb{R} \hspace{0.4cm} und \hspace{0.4cm} z \in \mathbb{C}\Big{\}}$
Wir definieren $\phi: \mathbb{R}^{4} \rightarrow V,\hspace{1cm} \begin{pmatrix}a\\ b\\ c\\ d\... ...pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix}a+d & b + ic\\ b - ic & -a+d \end{pmatrix}$ .
$\phi$ ist eine Isometrie von $(\mathbb{R}^{4}, h)$ nach $(V,\sigma)$ , d. h. $O(3,1) \cong O(V, \sigma)$ .
Insbesonders gilt dann, dass $SO^{+}(3,1)\hspace{0.2cm}\cong\hspace{0.2cm} L$ , wobei $L \le O(V, \sigma)$ .
Es kann gezeigt werden, dass

$\displaystyle SO^{+}(3,1) \hspace{0.2cm} \cong \hspace{0.2cm}L \hspace{0.2cm} \cong \hspace{0.2cm}SL(2,\mathbb{C}) / \{\pm E\} \hspace{3cm}(1)$

Als einfache Folgerung aus dieser Isomorphie erhält man folgendes Ergebnis:

$\displaystyle SU(2) / \{\pm E\} \cong SO(3) \hspace{3cm}(2)$

Wir betrachten folgende Abbildung:

$\displaystyle \rho : SL(2,\mathbb{C}) \rightarrow GL(V), \hspace{0,3cm} \rho(A)... ...) = A \cdot X \cdot \bar{A}^{t}, \hspace{0,2cm} A \in SL(2,\mathbb{C}), X \in V$

und zeigen, dass $\rho$ ein Homomorphismus mit $Ker\rho = \{ \pm E_{2} \}$ und $Im\ \rho \cong SO^{+}(3,1)$ ist.

$\rho$ ist wohldefiniert (falls hermitesch, dann ist auch $A \cdot X \cdot \bar{A}^{t}$ hermitesch).
die Homomorphieeigenschaft ist leicht nachzurechnen.
Wir zeigen, dass
- $A \in Ker\rho \hspace{0.2cm} \Leftrightarrow \hspace{0.2cm} A \cdot X \cdot \bar{A}^{t} = X \hspace{0.3cm} X \in V \hspace{1cm} (\ast)$
  
  Für $X = E_{2}$ folgt daraus
  
  $\displaystyle A \cdot \bar{A}^{t} = E_{2} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} A^{-1} = \bar{A}^{t}$
  
  $\displaystyle \Rightarrow \hspace{0.3cm} A \, \in \,\{ \;B \in SL(2,\mathbb{C})... ...rt \; BX = XB \hspace{0.5cm} \forall \; X \in V\; \} \hspace{1cm} (\ast \ast)$
  
  Für $X = \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ und $X = \begin{pmatrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ erhalten wir aus $(\ast)$ und $(\ast\ast)$ : $\hspace{0.8cm}A = z \cdot E_{2}$ mit $z \in \mathbb{C}$ .
  
  Wegen det = 1 ist $z = \pm\,1$ und damit $A = \pm \, E_{2} \hspace{0.4cm} \Rightarrow \hspace{0.2cm} Ker\rho \subseteq \{ \pm E_{2} \}.$
- andere Richtung ist klar.
Es bleibt noch zu zeigen, dass .
Nach Aussage 1360 sind die Isometriegruppen und der Hermiteschen Räume und isomorph zueinander, wobei der zugehörige Isomorphismus durch die Vorschrift

$\displaystyle \mu : O(3,1) \to O(V,\sigma), \qquad \psi \mapsto \phi \circ \psi \circ \phi^{-1}$
mit von oben gegeben ist. Damit ist die Einschränkung der Isomorphismus von nach .
- Zuerst zeigen wir, dass $Im\ \rho \subseteq L$ .
  Da $SO^{+}(3,1)$ eine Einskomponente ist, ist auch eine Einskomponente. Da $SL(2, \mathbb{C})$ zusammenhängend und $\rho$ eine stetige Abbildung ist, ist $\rho(SL(2, \mathbb{C})) = Im\ \rho$ auch zusammenhängend. Wegen $E_{2} \in Im\ \rho$ gilt somit $Im\ \rho \subseteq L$ .
- Wir betrachten die Basis $\cal B$ von , die aus den Matrizen
  
  $\displaystyle B_{1} = \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}, \hspace{0.3... ...pace{0.3cm} B_{4} = \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \hspace{0.3cm}$
  besteht und bestimmen die $\rho$ -Bilder der Matrizen
  
  $\displaystyle R(\alpha) = \begin{pmatrix}cos\;\frac{\alpha}{2} & -sin\;\frac{\a... ...{pmatrix}e^{\frac{\alpha}{2}} & 0 \\ 0 & e^{-\frac{\alpha}{2}} \end{pmatrix}.$
  Nach der Definition von $\rho$ sind diese Bilder lineare Abbildungen von in sich selbst. Jeder solchen Abbildung kann eine eindeutige Matrixdarstellung bzgl. der Basis $\cal B$ zugeordnet werden. Deswegen werden wir von nun an $\rho(A)$ mit einer $4\times4$ - Matrix identifizieren für jedes $A \in SL(2, \mathbb{C})$ . Es gilt also
  
  $\displaystyle \rho(R(\alpha)) = \begin{pmatrix}cos\;\alpha & -sin\;\alpha & 0 &... ...in\;\alpha & 0 \\ 0 & sin\;\alpha & cos\;\alpha & 0 \\ 0&0&0&1 \end{pmatrix},$
  
  $\displaystyle \rho(T(\alpha)) = \begin{pmatrix}cosh\;\alpha & 0 & 0 & -sinh\;\alpha \\ 0&11&0&0 \\ 0&0&1&0 \\ sinh\;\alpha & 0 & 0 & cos\;\alpha \end{pmatrix}.$
  Da $\rho(R(\alpha))$ und $\rho(S(\alpha))$ die Menge der Lorentz-Drehungen erzeugen, wird von diesen 3 Matrizen nach Aussage 1366 die Gruppe $SO^{+}(3,1)$ erzeugt. Die Gruppe ist somit das Erzeugnis der $\lambda$ -Bilder der Matrizen $\rho(R(\alpha))$ , $\rho(S(\alpha))$ und $\rho(T(\alpha))$ erzeugt.
  Um diese Bilder einfacher beschreiben zu können, identifizieren wir ab jetzt den Isomorphismus $\lambda$ mit seiner Matrixdarstellungen. Nach kurzer Rechnung sieht man dann, dass diese Bilder die gleiche Darstellung bzgl. der Basis $\cal B$ haben. d.h. es gilt
  
  $\displaystyle \lambda(\rho(R(\alpha))) = \rho(R(\alpha)), \quad \lambda(\rho(S(\alpha))) = \rho(S(\alpha)), \quad\lambda(\rho(T(\alpha))) = \rho(T(\alpha)).$
  Mit anderen Worten erzeugen die Matrizen $\rho(R(\alpha))$ , $\rho(S(\alpha))$ und $\rho(T(\alpha))$ die Gruppe und damit ist $L \subseteq SO^{+}(3,1).$

Also gilt nach dem Homomorphiesatz $SO^{+}(3,1) \cong L = Im \ \rho \cong SL(2,\mathbb{C}) / \{\pm E\}$ .

(Autor: Borgart)

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automatisch erstellt am 4. 3. 2011