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Mathematik-Online-Lexikon: Erläuterung zu

Frattini-Argument

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Sei $ N$ ein Normalteiler der endlichen Gruppe $ G$. Die Primzahl $ p$ teile $ \vert N\vert$ und es sei $ S\in Syl_p(N)$. Dann ist

$\displaystyle G=N_G(S)\cdot N \, . $

Für jedes $ g \in G$ gilt $ S^g \subseteq N^g=N$. Also ist auch $ S^g \in Syl_p(N)$. Nach dem Sylowsatz gibt es dann aber ein $ n\in N$ mit $ S^g=S^n$, und es folgt $ gn^{-1} \in N_G(S)$. Damit ist $ g \in N_G(S) \cdot N$. Da die Aussage für jedes $ g \in G$ gilt, ist insgesamt $ G=N_G(S) \cdot N$.
(Autoren: Höfert/Kimmerle )
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  automatisch erstellt am 17. 10. 2006