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Mathematik-Online-Lexikon: Erläuterung zu

Schema von Aitken-Neville

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Zwischenwerte zu Daten

$\displaystyle (x_i,f_i)\,, \quad x_0 < \hdots < x_n\,, $

können durch Interpolation mit einem Polynom $ p$ vom Grad $ \leq n$ approximiert werden.

\includegraphics[width=.6\linewidth]{Aitken_Neville}

Der Wert $ p(x)$ lässt sich dabei mit Hilfe eines Dreiecksschemas berechnen:


$ f_0 = p_0^0$            
  $ \searrow$          
$ f_1 = p_1^0 $ $ \rightarrow$ $ p_0^1 $        
$ \vdots$     $ \hdots$      
$ f_{n-1} = p_{n-1}^0 $     ... $ p_0^{n-1}$    
  $ \searrow$       $ \searrow$  
$ f_n = p_n^0 $ $ \rightarrow$ $ p_{n-1}^1$ ... $ p_1^{n-1}$ $ \rightarrow$ $ p_0^n = p(x)$


mit

$\displaystyle p_i^j = \frac{x_{i+j}-x}{x_{i+j}-x_i} p_i^{j-1} + \frac{x-x_i}{x_{i+j}-x_i} p_{i+1}^{j-1}\,. $

Die Hilfsgrößen $ p_i^j = p_i^j(x)$ in dem Dreiecksschema sind die Werte der Polynome vom Grad $ \leq j$, die an den Punkten $ x_i,\dots,x_{i+j}$ interpolieren. Dies lässt sich induktiv zeigen. Man nimmt an, die Behauptung gelte für $ p_i^{j-1}$ und $ p_{i+1}^{j-1}$. Dann ist

$\displaystyle p_i^{j-1}(x_\ell) = f_\ell = p_{i+1}^{j-1}(x_\ell)\,, \quad \ell = i+1,\dots,i+j-1\,. $

Da

$\displaystyle \frac{x_{i+j}-x_\ell}{x_{i+j}-x_i} + \frac{x_\ell - x_i}{x_{i+j}-x_i} = 1 $

ist, folgt $ p_i^j(x_\ell) = f_\ell$ für diese Stützstellen $ x_\ell$. Für $ x = x_i$ ist

$\displaystyle p_i^j(x_i) = \frac{x_{i+j} -x_i}{x_{i+j}-x_i} p_i^{j-1}(x_i) + 0 \cdot p_{i+1}^{j-1} = 1 \cdot f_i\,, $

und analog gilt

$\displaystyle p_i^j(x_{i+j}) = f_{i+j}\,. $

Folglich interpoliert $ p_i^j$ an allen Punkten $ x_i,\dots,x_{i+j}$.
(Autor: B. Wohlmuth)
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  automatisch erstellt am 4. 10. 2007