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Mathematik-Online-Lexikon: Erläuterung zu

Householder-Transformation


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Eine Householder-Transformation

$\displaystyle x \mapsto Qx = x - \frac{1}{r} (d^t x) d
$

mit

\begin{displaymath}
\begin{array}{rcl}
d &=& (\begin{array}{cccc}
c_1+\sigma...
...ight. \\
r &=& \vert d_1\vert\,\Vert c\Vert _2
\end{array}
\end{displaymath}

ist eine Spiegelung, die den Vektor $ c$ auf $ -\sigma\Vert c\Vert _2 e_1 $, d.h. auf ein Vielfaches des ersten Einheitsvektors abbildet.

Normalerweise wird die Householder-Transformation gleichzeitig auf alle Spalten der Matrix angewandt

$\displaystyle A \mapsto A -d \left(d^t A \right)/r\,,
$

wobei $ c=A(:,1)$ gewählt wird. Dadurch werden die Einträge $ a_{2,1}
,a_{3,1}, \ldots $ zu null.

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  automatisch erstellt am 19.  8. 2013