Mo Logo [Home] [Lexikon] [Aufgaben] [Tests] [Kurse] [Begleitmaterial] [Hinweise] [Mitwirkende] [Publikationen]
Mathematik-Online-Lexikon: Erläuterung zu

Kristallographische Beschränkung

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z Übersicht

Sei $ A \in GL(3, \mathbb{Z} )$ und $ A^m = E $ Dann gilt:
$ m=1,2,3,4$ oder $ 6$ .

Zunächst gilt allgemein: Ist $ A\in GL(n,\mathbb{Z})$ und $ A^m=E$ , dann gilt $ \varphi(m)\leq n$ .

Wobei $ \varphi(m)=\vert\{x\in \mathbb{N}\vert x\leq m, ggT(x,m)=1\}\vert$ die Eulersche Phi-Funktion bezeichne.

Denn: Das chrakteristische Polynom $ \chi(x)$ von $ A$ hat Grad $ n$ . Der Grad des $ m$ -ten irreduziblen Kreisteilungspolynoms $ \varphi_m(x)\in \mathbb{Z}[x]$ ist $ \varphi(m)$ . $ A$ erfüllt $ \chi$ . Somit wird $ \chi(x)$ von $ \varphi_m(x)$ geteilt. Also folgt für die Grade $ \varphi(m)\leq n$ .

Für $ n=3$ ergeben sich für $ m$ nur die möglichen Werte $ m\in {1,2,3,4,6}$ ,
da $ \varphi(1)=1$ , $ \varphi(2)=1$ , $ \varphi(3)=2$ , $ \varphi(4)=2$ , $ \varphi(6)=2$
und für alle anderen $ k\in\mathbb{N}$ gilt $ \varphi(k)>3$ .

(Autor: Baur )
[Zurück zur Aussage]
  automatisch erstellt am 29. 10. 2006