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Mathematik-Online-Lexikon: Erläuterung zu

Aulösbarkeit und Nilpotenz

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Sei $ G$ eine Gruppe und $ H \leq G$. Dann gilt:
a)
$ G$ hat Max $ \Rightarrow$ $ H$ hat Max.
b)
$ G$ auflösbar $ \Rightarrow$ $ H$ auflösbar.
c)
$ G$ nilpotent $ \Rightarrow$ $ H$ nilpotent.

Insbesondere ist die Nilpotenzklasse von $ H$ kleiner oder gleich der Nilpotenzklasse von $ G$.

Es gilt der folgende Zusammenhang zwischen Nilpotenz und Auslösbarkeit.
d)
$ G$ nilpotent $ \Rightarrow$ $ G$ auflösbar.

Bemerkung:

Die Umkehrung von d) ist im Allgemeinen nicht wahr.

a)
Folgt unmittelbar aus der Definition.
b)
Für die Gruppen $ G^{(i)}$ und $ H^{(i)}$ der abgeleiteten Reihen von $ G$ und $ H$ gilt

$\displaystyle H \cap G^{(i)} \geq H^{(i)} \,. $

c)
Für die Gruppen $ L_k(G)$ und $ L_k(H)$ der absteigenden Zentralreihe von $ G$ und $ H$ gilt

$\displaystyle H \cap L_k(G) \geq L_k(H) \,. $

d)
Nach c) ist $ [G,G]$ nilpotent, wenn $ G$ nilpotent ist. Mit Induktion nach der abgeleiteten Reihe kann man annehmen, dass $ [G,G]$ auflösbar ist. Man beachte, dass abelsche Gruppen auflösbar und nilpotent sind. Die Erweiterungseigenschaft auflösbarer Gruppen liefert mit dem Normalteiler $ N=[G,G]$, dass $ G$ auflösbar ist.

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  automatisch erstellt am 3. 11. 2006