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Mathematik-Online-Lexikon: Erläuterung zu | |
Rang einer freien abelschen Gruppe |
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Analog wird definiert und zu einem Vektorraum mit Basis , wenn für und in die skalare Multiplikation als
Ist nun eine freie abelsche Gruppe mit Basis , dann ist
(via
).
Sind und Basen von , dann gilt
, und damit
, wobei und Basen
von sind. Da verschiedene Basen eines Vektorraums gleiche
Kardinalität besitzen gilt .
Sei nun . Für ist die letzte Aussage offensichtlich richtig.
Sei also ,
eine
Basis von .
Falls
ist, dann folgt die
Aussage via Induktion. Man kann also annehmen, dass ein Element
existiert mit
mit
.
Behauptung 1: .
Beweis: Seien , dann existieren mit
und
. Dann ist auch , da
, und es gilt
. Damit ist auch
und das Untergruppenkriterium liefert die Behauptung.
Behauptung 2: mit .
Beweis: Die Behauptung folgt mit dem Euklidischen Algorithmus. Man
beachte, dass
ist, und damit
gilt.
Setzt man
, dann besitzt
via Induktion eine Basis
mit
. Nach
Behauptung 1 und 2 gibt es ein
mit
und
.
Behauptung 3: ist eine Basis von .
Beweis: Man sieht leicht, dass linear unabhängig und eine Teilmenge von ist. Es genügt also zu zeigen, dass die Menge eine Erzeugendensystem ist.
Sei gegeben, dann ist
,
. Nach Behauptung 2 gilt
,
. Bildet man
, dann wird der Koeffizient von zu Null, und es gilt
. Also ist
und
ist eine Linearkombination der
. Damit ist eine
Linearkombination der
und Behauptung 3 ist
gezeigt.
Da ist, hat höchstens Elemente.
automatisch erstellt am 3. 11. 2006 |