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Mathematik-Online-Lexikon: Erläuterung zu

Direktes Produkt und Produkt zyklischer Gruppen

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a)
Sei $ G$ eine Gruppe mit den Normalteiler $ N_1$ und $ N_2$. Ist $ N_1 \cap N_2=1$ und $ G=\langle N_1 ,N_2 \rangle$, dann gilt

$\displaystyle G \cong N_1 \times N_2 \,. $

b)
Sei $ m=t_1 \cdot t_2 \in {\mathbb{N}}$ mit $ ggT(t_1,t_2)=1$, dann gilt

$\displaystyle {\mathbb{Z}}/m{\mathbb{Z}} \cong {\mathbb{Z}}/t_1{\mathbb{Z}} \times {\mathbb{Z}}/t_2{\mathbb{Z}} \,. $

c)
Sei $ m \in {\mathbb{N}}$ und $ m=p_1^{\alpha_1} \cdot \ldots \cdot p_k^{\alpha_k}$ die Primfaktorzerlegung von $ m$. Dann ist

$\displaystyle {\mathbb{Z}}/m{\mathbb{Z}} \cong {\mathbb{Z}}/p_1^{\alpha_1}{\mathbb{Z}} \times \ldots \times {\mathbb{Z}}/p_k^{\alpha_k}{\mathbb{Z}} \,. $

a)
Definiere die Abbildung

\begin{displaymath} \begin{array}{cccc} \varphi : & N_1 \times N_2& \longrightarrow & G \\ &(n_1,n_2) & \longmapsto & n_1n_2 \end{array} \,. \end{displaymath}

$ \varphi$ ist injektiv, denn für $ \varphi((n_1,n_2))=\varphi((m_1,m_2))$ gilt

$\displaystyle n_1n_2=m_1m_2 \ \Rightarrow \ m_1^{-1}n_1n_2=m_2 \ \Rightarrow \ m_1^{-1}n_1 \in N_1 \cap N_2 \ \Rightarrow \ m_1=n_1 \,. $

Analog gilt $ m_2=n_2$ und damit $ (m_1,m_2)=(n_1,n_2)$.

$ \varphi$ ist surjektiv, denn jedes $ g \in G$ kann wegen $ G= \langle N_1,N_2 \rangle$ und $ N_1,N_2 \unlhd G$ als $ g=n_1n2$ mit $ n_1 \in N_1$ und $ n_2 \in N_2$ geschrieben werden.

$ \varphi$ ist Gruppenhomomorphismus, denn

$\displaystyle \varphi((n_1,n_2))\cdot \varphi((m_1,m_2))=n_1n_2m_1m_2=n_1m_1m_1^{-1}n_2m_1m_2 \,. $

Wegen $ N_1 \cap N_2=1$ ist $ m_1^{-1}n_2m_1=n_2$ und damit

$\displaystyle n_1n_2m_1m_2=n_1m_1m_1^{-1}n_2m_1m_2=n_1m_1n_2m_2=\varphi((n_1m_1,n_2m_2)) \,. $

b)
Folgt direkt aus a).
c)
Folgt durch Induktion aus b).
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  automatisch erstellt am 3. 11. 2006