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Mathematik-Online-Lexikon: Erläuterung zu

Partialbruchzerlegung

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Eine rationale Funktion $ r$ mit $ n$ verschiedenen Polstellen $ z_j$ der Ordnung $ m_j$,

$\displaystyle r=\frac{p}{q}, \,\,\,\, q(z)=(z-z_1)^{m_1}\cdots(z-z_n)^{m_n}$

läßt sich in der Form

$\displaystyle r(z) = f(z) + \sum_{j=1}^n r_{j}(z),\quad r_{j}(z)=\frac{a_{j,1}}{z-z_j}+...+\frac{a_{j,m_j}}{(z-z_j)^{m_j}}, $

zerlegen. Dabei ist $ f$ ein Polynom vom Grad $ d=\operatorname{Grad}\,p-\operatorname{Grad}\,q$ ($ f=0$, falls $ d<0$). Die rationalen Funktionen $ r_j$ werden als Hauptteile von $ r$ an den Polstellen bezeichnet. Sie beschreiben jeweils das Wachstum von $ r(z)$ für $ z \to z_j$.

Das Polynom $ f$ kann durch Polynomdivision berechnet werden:

$\displaystyle p=fq+g,\,\,\,\, \operatorname{Grad}\,g< \operatorname{Grad}\,q\,. $

Dabei ist $ g$ der Rest bei Division von $ p$ durch $ q$. Die Koeffizienten $ a_{j,\nu}$ lassen sich dann durch Vergleich der Koeffizienten von $ z^k$ in der Identität

$\displaystyle p(z)=q(z)\left(f(z)+\sum_{j=1}^n r_j(z)\right) $

bestimmen.

Alternativ kann man zur Bestimmung der Hauptteile auch die Grenzwertmethode verwenden. Für die Koeffizienten der Pole höchster Ordnung gilt

$\displaystyle a_{j,m_j}=\lim\limits_{z\rightarrow z_j}(z-z_j)^{m_j} r(z) %= \,. $

Bei einer Polstelle $ z_j$ höherer Ordnung $ (m_j>1)$ können die Koeffizienten $ a_{j,1}, ..., a_{j,m_{j-1}}$ nicht direkt als Grenzwert bestimmt werden. Man kann jedoch den bereits berechneten Term $ a_{j,m_j}/\left(z-z_j\right)^{m_j}$ abziehen und die Methode rekursiv anwenden. Ein Koeffizientenvergleich unter Berücksichtigung der bereits bestehenden Terme ist ebenfalls möglich.

Der Grenzwert kann bestimmt werden, indem der Faktor $ (z-z_j)^{m_j}$ im Nenner von $ r$ weggelassen und dann $ z_j$ in den Restbruch eingesetzt wird. Insbesondere gilt

$\displaystyle a_{j,1} = \frac{p(z_j)}{\prod_{k \neq j}\,(z_j - z_k)} $

für einfache Polstellen $ z_1, ..., z_n$.

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  automatisch erstellt am 19.  8. 2013