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Mathematik-Online-Lexikon: Erläuterung zu

Wielandt-Iteration

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Die Wielandt-Iteration ist eine Verbesserung des von Mises-Verfahrens. Sie generiert eine Folge simultaner Approximationen zu einem Eigenwert $ \lambda$ und einem entsprechenden normalisierten Eigenvektor $ u$ einer Matrix $ A$, ausgehend von einer hinreichend guten Startnäherung. Ein Iterationsschritt hat die Form

$\displaystyle \lambda_\ell$ $\displaystyle = u^{\operatorname t}_\ell A u_\ell$    
$\displaystyle v_\ell$ $\displaystyle = \left( A-\lambda_\ell E \right)^{-1} u_\ell$    
$\displaystyle u_{\ell+1}$ $\displaystyle = \frac{v_\ell}{\left\Vert v_\ell \right\Vert _2}\,.$    

In der Implementierung wird dabei $ v_\ell$ als Lösung eines linearen Gleichungssystems berechnet.

Für einen einfachen Eigenwert einer symmetrischen Matrix konvergiert die Iteration kubisch:

$\displaystyle \Delta_{\ell+1} \leq c \Delta_\ell^3 $

mit $ \Delta_\ell=\max \left\{ \left\vert \lambda_\ell - \lambda \right\vert,\, \left\Vert u_\ell - \sigma_\ell u \right\Vert _2 \right\}$ und dem Vorzeichen $ \sigma_\ell$ so gewählt, dass $ u_\ell^{\operatorname t} \left( \sigma_\ell u \right) \geq 0$.

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  automatisch erstellt am 19.  8. 2013