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Mathematik-Online-Lexikon: Erläuterung zu

Affine Approximation von Punktwolken


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Eine beste euklidische Approximation von Punkten mit Ortsvektoren

$\displaystyle p_i = (p_{i,1},\,\ldots,\,p_{i,n})^\mathrm{t},\quad
i=1,\ldots,m,
$

mit einem $ k$-dimensionalen affinen Unterraum

$\displaystyle H:\ a + \mathrm{span}(v_1,\ldots,v_k)
$

lässt sich durch Minimierung der Summe der quadrierten Distanzen

$\displaystyle e(P,H)^2 =
\sum_i \mathrm{dist}(p_i,H)^2
$

bestimmen.
\includegraphics[width=0.7\linewidth]{Bild_approx_point_clouds}

Der optimale affine Unterraum $ H$ kann folgendermaßen charakterisiert werden. Der Vektor $ a$ ist der Mittelwert der Ortsvektoren $ p_i$,

$\displaystyle a = \frac{1}{m} \sum_i p_i\,.
$

Ausgehend von der Singulärwert-Zerlegung

$\displaystyle \left(\begin{array}{c}
p_1^\mathrm{t} - a^\mathrm{t} \\
\vdots...
...\mathrm{t}
\end{array}\right)
=
U\,\mathrm{diag}(s_1,\,s_2,\,\ldots)\,V^t
$

der $ m\times n$-Matrix der zentrierten Punkte können die ersten $ k$ Spalten von $ V$ als Basisvektoren $ v_j$ gewählt werden. Schließlich gilt für den Fehler

$\displaystyle e(P,H)^2 = \sum_{i>k} s_i^2
\,.
$


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  automatisch erstellt am 19.  8. 2013